文档介绍：实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质: ,),,,(,)( 21 Tn nn ijaaaaA????? TAAA A??为实对称阵,故由于性质 1 :实对称矩阵的特征值都是实数。, 的特征值阶实对称矩阵是设A n ??(1)两端取转置,得: TTTA??????两端同时右乘?????? TT????????????????0 2T性质 2:实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。对一般矩阵,只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。 Tnaaa),,,( 21???, 即是对应的特征向量?????A, 两边取共轭,得: )1(?????A TTA??????????? T TA ???0)(??????? T??的特征向量。的属于特征值征向量,求的特的属于特征值是) , , ( ) , , ( 个特征值, 的是三阶实对称方阵, , 例:设 1 1 122,111 3 111 2 1????A A A T T??, 1 3213 Txxx A) , , ( 的特征向量为的属于特征值设???正交, 与 213,??????????????022 0 321 321xxx xxx?????????122 111A??????????100 111?????????100 011 ???????0 3 12x xx T) , , (011 3???? 0,, 2313???) ( ) (????性质 3:实对称矩阵 A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有 k个。由此推出: 实对称矩阵 A一定与对角矩阵相似。二、实对称矩阵的相似对角化: 定理 1:实对称矩阵 A一定与对角矩阵相似。为对角阵。,使求正交阵为对角阵。,使求可逆阵, :设例 AQ QQ AP PP A 1 1 )2( )1(242 422 2211 ??????????????????????????????242 422 221EA 2)2 )(7(??????定理 2:实对称矩阵 A一定与对角矩阵正交相似。.2,7 321???????? T T)1,0,2(,)0,1,2( 3 2?????.)221(7 1 1 T????, , 的特征向量为??的线性无关的特为属于特征值 2 . 征向量????????????????102 012 221 321???P ????????????????2 2 7 1 AP 23 23 1 )221( 1 1 T T) , , ( 单位化,得: , , 将??????正交化,得: 将 T T)1,0,2(,)0,1,2( 3 2?????再单位化,得: T T)53 5,53 4,53 2()0,5 1,5 2( 3 2?????, T T)5,4,2(5 1 )0,1,2( 222 2333 22???????????????) , ( ) , ( , ????????????????????????53 503 2 53 45 13 2 53 25 23 1 321???Q????????????????2 2 7 1 AQ Q用正交阵将实对称矩阵 A化为对角阵的步骤: 的特征向量。它们仍为属于, ; 先正交化再单位化为; 个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将 i irii irii i im i m i r iii i i????????),,2,1(,,, ),,2,1(,,, )(21 21??????. ),,,2,1(,,, )( 1 21 nrm i r ii mi i irii iii????由性质知; 征向量个线性无关的特,求出对应的对每一个重特征值??????;,,, )( 21m Ai????的所有相异的特征值求出为对角阵。此时即为所求的正交方阵。,则阶方阵一个向量作为列向量,排成将上面求得的正交单位???? AQ Q AQ Q QQn iv T1)( 为对角阵。,使求正交阵为对角阵。,使求可逆阵, , , ,特征值为设 AQ QQ AP PP A EX1 1)2( )1( 412 020 212 022:????????????????????????????????122 212 2213 1),,( 321???Q ??????????????122 212 221),,( 321???P 。,使及正交阵求, 正交相似于设?????????????????????????????????2 1 0 , 2 1 011 1 11:1 AQ QQ lk l lk kA EXlkA???,0?.101 010 101????????????A????????????????2 102 1 010 2 102 1Q .0,0.?????l