文档介绍：相似矩阵的定义相似矩阵的性质利用相似变换将方阵对角化第三节第三节相似矩阵相似矩阵称为对 A进行相似变换 B AP P 1??设 A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵 P, 使则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似其中可逆矩阵 P 称为把 A变成 B的相似变换矩阵。对 A 进行运算 AP P 1?一、相似矩阵的概念定义 BA~ 记作例如, ??????????????????????????????51 11,20 04,15 13P B AB AP P P?????????????????1 1,6 16 1 6 16 5则。即所以??????????????????20 04~15 13,~BA kkBABA~,~)4(则)A(?)(~)(BA??则(1)自反性 A~A (其中 k 是正整数) (5)若 A~B , (2)对称性若 A~B ,则 B~A (3)传递性若 A~B , B~C ,则 A~C 相似是关于 A 的多项式二、相似矩阵的性质, 1P PB A ??若P PE aP PB a PB PaPB Pa nn nn111 111 10?????????????A k 的多项式 AEa AaA aA a A nn nn???????1 110)(??.)( 1P BP ???. 1PB P k??则P Ea BaB aB a P nn nn11 110)( ????????? P PB 1?P PB 1?P PB 1??P PB 1? k个特别地,若有可逆矩阵 P,使??? AP P 1????????????????)(00 0)(0 00)()( 2 1n??????????????则为对角矩阵, 即,???????????????? n?????????? 00 00 00 2 1则 1 1??????PPAPPA kk)()(,??,而对于矩阵?有, 2 1??????????????????? kn k kk?利用上述结论可以很方便计算矩阵 A 的多项式)(A?(6) 若n阶矩阵 A~B, 则有秩 A= 秩 B; ;,~)7(BABA?则有若)1( 1? B AP P??因为而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积, (1) 式左端就相当于对 A施行一系列的初等行变换和列变换,因而秩不变. BA BPAPB AP PB AP P?????????? 1 1 1 (8) 若 A~B, 则 A,B 或都可逆或都不可逆,且若 A可逆,则。 11~ ??BA,7BA?)有由性质( , 或不为同时为与从而 00BA或都可逆或都不可逆。与所以 BAB AP P A??1可逆,则有若 111)( ?????B AP P 1111111)( ??????????BPAPPAP 11~ ???BA 。的特征值为对角阵 n n????,, 1 1?????????????相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。证, 使由条件知存在可逆阵 BPAPP??1, 1 1 E B P EP P AP ? ?? ?? ??? 1 ( ) P E A P ??? ? 1 P E A P ??? ? E A ?? ?相似, 与对角阵若?????????? n A??? 1这表明 A与B有相同特征值; ; A B E A E B ? ?? ???与相似都与相似设A 与 B 相似, 推论定理 6 的特征向量。为则A n??,, 1?特别地,若矩阵 A与对角阵Λ相似(P -1 AP = Λ),则 1??PPA kk?简化矩阵的计算问题: 相似? 角阵满足什么条件时能与对? A)1( 怎样求? 及相似变换阵相似时与对角阵??P A,)2(即如何将方阵 A 对角化