文档介绍：实对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质(4个 Th ) 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法定理 1实对称矩阵的特征值为实数. 证明, , 对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数 xA?.0,??xx Ax ?即,的表示用??共轭复数 xAxA?则????.xx Ax?????一、对称矩阵性质,的表示 xx 共轭复向量于是有 Ax x T?? Ax x T?xx T??,xx T?? Ax x T及?? xA x T T??? xxA T??? xx T??.xx T??两式相减,得??.0??xx T??,0?x?,0|| 1 2 1???????? ni i ni ii Txxxxx ,????.是实数??定理 1的意义: 所以齐次线性方程组为实数的特征值由于实对称矩阵,? iA. , 0,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组??EA i? 0)(??xEA i? 说明:本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明,均指实对称矩阵..,, ,,,2 2121 2 1 21 正交与则若是对应的特征向量的两个特征值是对称矩阵设定理 ppp pA?????证明,,, 21222111??????? Ap p Ap p,,A AA T?对称????? TTT Ap pp 11111?????, 11ApA p TT T??于是?? 221 21 21 1p p Ap pp p TTT????, 21 2p p T????.0 21 21???p p T??, 21????. 21 正交与即pp .0 21??p p T 一、对称矩阵性质定理 1:实对称矩阵的特征值为实数..,, ,,,2 2121 2 1 21 正交与则若是对应的特征向量的两个特征值是对称矩阵设定理 ppp pA?????定理 1的意义: 所以齐次线性方程组为实数的特征值由于实对称矩阵,? iA. , 0,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组??EA i? 0)(??xEA i?. , ,,4 1 素的对角矩阵个特征值为对角元的是以其中使则必有正交矩阵阶对称矩阵为设定理 nA AP P P nA????证明,,,, 21s????它们的重数依次为 srrr,,, 21?. ,)(, ,3 个线性无关的特征向量恰有对应特征值从而的秩则矩阵重根的特征方程的是阶对称矩阵为设定理 r rnEAREA rAnA????????).( 21nrrr s?????由定理 1(对称矩阵的特征值为实数)和定理 3得: 设的互不相等的特征值为 A , 21知由nrrr s?????由定理 2知对应于不同特征值的特征向量正交,. ,, ),,,2,1( 单位正交的特征向量个即得把它们正交化并单位化关的实特征向量个线性无恰有对应特征值 r r si i ii?????????PP AP P 11. ,,, 11 个特征值的是恰个个的对角元素含其中对角矩阵 nA rr ss???? 以它们为列向量构成正交矩阵,则P 根据上述结论,利用正交矩阵 P将对称矩阵 A化为对角矩阵,其步骤为: 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化; . 2.??;,0 的特征向量求出由AxEA i??? 1.; 的特征值求A 即得正交可逆阵 P和对角阵. 4. s??,,)1( 1?特征值求出的全部互不相等的.)(,, 11nkkkk ss?????它们的重数依次为,, ., 0)(,)2(量两两正交的单位特征向得化再把它们正交个线性无关的特征向量得解系的基础求方程对每个重特征值 i ik k xEA???, 1nkk s????因. 向量个两两正交的单位特征故总共可得 n ., )3( T 1???? AP P AP PP n 便有向量构成正交阵个两两正交的单位特征把这具体详细过程如上: 解?????????????20 212 022EA?????? 214??????? 0?.2,1 ,4 32 1???????得,020 212 022???????????????A例1实对称阵 A,求正交矩阵,使为对角阵. AP P 1?P (1) 第一步求的特征值 A??的特征向量求出由第二步 AxEA i,0?????得由对,04 ,4 1???xEA ?????????????042 0232 022 32 321 21xx xxx xx 2 2 1??????????????