文档介绍：1 第六章二次型§ 二次型的正定性§ 二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数二、正定二次型三、负定(半正定、半负定)二次型*2 第六章二次型§ 二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数 1. 惯性定理对于一个给定的实二次型定理,)(XAXXf T?则其中正、负项的项数是惟一确定的, , 221 221qpppzzzz ????????? QZ Y? 2211 2211qpqpppppydydydyd ???????????)0(? id PY X?)(Xf 经过非退化线性变换化为标准形(或规范形),即它们的和等于矩阵A的秩。(略)证明3 第六章二次型§ 二次型的正定性一、惯性定理与惯性指数 1. 惯性定理称为该二次型的正惯性指数; 2. 惯性指数定义实二次型的标准形中正平方项的项数 XAXXf T?)( p 负平方项的项数称为该 q 二次型的负惯性指数;它们的差称为该二次型的 qp?符号差。正、负惯性指数统称为惯性指数。4 第六章二次型§ 二次型的正定性答D与 A相似。(特征值相同且可相似对角化) 矩阵 A的特征值为: 1,2,1?矩阵 B的特征值为: 2/)53(,2/)53(,3??矩阵 C的特征值为: 2,1,1?矩阵 D的特征值为: 1,2,1? B, C, D与 A等价;( 秩相同) C, D与 A合同; (惯性指数相同) ,100 020 001??????????A,300 021 011???????????B,100 010 002??????????C,200 001 010?????????D 问 B, C, D中哪些与 A等价、合同、相似? 例5 第六章二次型§ 二次型的正定性 1. 正定二次型与正定矩阵则称 f (X ) 为正定二次型, 注(1) A 为正定矩阵隐含 A 为对称矩阵; 二、正定二次型设 n元实二次型,)(XAXXf T?定义如果对空间中任意 nR ,0?X 的都有,0)(?Xf 称二次型矩阵 A为正定矩阵. (2) A 为正定矩阵有时记为 A> 第六章二次型§ 二次型的正定性;),,()2( 22 21321xxxxxf??;2),,()3( 23 22 21321xxxxxxf????.2),,()4( 23 22 21321xxxxxxf???;2),,()1( 23 22 21321xxxxxxf???(是)(不是)(不是)(不是) 一般说来,由于且 X与 Z一一对应, 故 f (X ) 的正定性取决于 g ( Z )正定性。判断下列二次型是否为正定二次型? 例XAXXf T?)( PZ X? 221 221qpppzzzz ?????????)(Zg 记为 7 第六章二次型§ 二次型的正定性 2. 二次型正定的充要条件;)0(,0)1(???XXAX T (2) 正惯性指数为 n; (3) A的特征值全部大于零; (4) A与 I合同; 1. 正定二次型与正定矩阵二、正定二次型 n元实二次型正定(或 n阶实对称阵 A 定理 1XAXXf T?)( 正定)的充要条件是下列条件之一: 证明题用条件(1), (3), (4) ; 判断题用条件(3) . 注(略)证明8 第六章二次型§ 二次型的正定性 2. 二次型正定的充要条件 1. 正定二次型与正定矩阵二、正定二次型 n元实二次型正定(或 n阶实对称阵 AXAXXf T?)( 正定)的充要条件是A的顺序主子式全大于零, 定理 2 ( Sylvester 定理).,,2,1,0 21 222 21 112 11nkaaa aaa aaaD kk kk k kk???????????(略)证明即9 第六章二次型§ 二次型的正定性方法一,016 310 130 002??故正定。),,( 321xxxf 即A的顺序主子式全大于零, 32 23 22 213212332),,(xxxxxxxxf????判断的正定性。例已知解,310 130 002???????????A,0630 02??,02? 10 第六章二次型§ 二次型的正定性 32 23 22 213212332),,(xxxxxxxxf????已知判断的正定性。方法二,)4()2( 2?????可得 A 的特征值为 2、 2、 4, 故正定。),,( 321xxxf 即A的特征值全大于零, 例解,310 130 002???????????A310 130 002||???????????AI 由