文档介绍：1 § : 二. n 阶实对称矩阵的对角化 2 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 , 使得 P 1 P AP ???更可找到正交矩阵,使得 1 T AT ??? T 定理实对称矩阵的特征值都是实数. 证设是的任一特征值,(往证)? A ? ??一. 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质§ 实对称矩阵的对角化 3 用表示的共轭复数, 表示的共轭复向量。????是对应于的特征向量, ??则, ( 0) A ? ???? ?设 12nxxx ?? ?? ?? ??? ?? ?? ??则 (1) A ? ????? ??又是实对称矩阵, 且A? A A ? ?. T A A ? = (2) A A A ? ??? ??? 4 由(1)(2) 有 = , A ? ? ?? ?等号两边同时左乘 T?左边( ) T T ? ?????? ?????右边( ) ( ) ( ) T T T T T T A A A ? ??????? ????? ???????? ???? T T ? ?????? ?????即( ) 0 T ? ???? ??? 12 1 2 ( , , , ) Tnnxx x x x x ? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ???考虑5 1 1 2 2 n n x x x x x x ? ??????? 2 2 2 1 2 0 n x x x ? ????( 0) ??? 0 ? ?? ??? ?? ?即为实数。?定理的意义: 因为对称矩阵的特征值为实数,所以齐次线性方程组又因为,可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量。 A i? ( ) 0 i A E X ?? ? 0 i A E ?? ?是实系数方程组。6 定理实对称矩阵 A的对应于不同特征值的特征向量正交. 1 2 , p p 是依次与之对应的特征向量。证设是对称矩阵的两个特征值,且 1 2 , ? ? A 1 2 , ? ??则 1 1 1 2 2 2 1 2 , , ( ) Ap p Ap p ? ???? ?? 1 1 , T T T p A p A ? ?于是?? 1 1 2 1 2 1 2 2 T T T p p p A p p p ? ?? ??? 2 1 2 , T p p ?? ? A?为实对称矩阵,T A A ? ????? 1 1 1 1 1 T T T p p Ap ? ?? ?考虑7?? 1 2 1 2 0. T p p ? ?? ???, 21???? 1 2 0. T p p ? ? 1 2 1 2 ( , ) 0 T p p p p ? ??即正交. 1 2 , p p 0?定理 A的属于 k 重特征值的线性无关的特征向量恰有 0 ( ) 0 A E X ?? ? 0 ( ), k n r A E ?? ??(则) 0 ( ) . r A E n k ?? ???知道结论即可8 二、 n阶实对称矩阵的对角化将 n 阶实对称矩阵 A 的每个 k 重特征值?对应的 k 个线性无关的特征值向量用施密特方法正交化后,它们仍是 A 的属于特征值?的特征向量。可见,n阶实对称矩阵 A一定有 n个正交的特征向量,再将这 n 个正交向量单位化,得到一组标准正交基, 用其构成正交矩阵 Q,有1 Q AQ ??? 1 2 ( , , , ), ( 1, 2, , ) n i dia