文档介绍：离散数学群与子群
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独异点是含有幺元的半群。前面曾提到，对于含有幺元的运算可考虑元素的逆元，并不是每个元素均有逆元的，这一点引出了一个特殊的独异点—群。
群论的研究起源于19世纪，它是由于方程论的需要，首先作为置换群的理论发展起来的。随后，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了群的概念。
群是近世代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的基础。
下面我们重点讨论群的概念及其性质。
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一、群的概念
群与子群是一种特殊的独异点，也是一种特殊的半群。
定义5- 设<G,  >是一个代数系统，其中G是非空集合，是G上一个二元运算，如果
⑴ 运算是封闭的。
⑵ 运算是可结合的。
⑶ 存在么元e。
⑷ 对于每一元素x∈G，存在着它的逆元x-1。
则称<G,  >是一个群（group）。
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例如：
1.〈Q，+〉，〈Z，+〉，〈R，+〉为群，逆元-x
2.〈R-{0}，*〉，〈P（S），〉都为群。
3.〈N，+〉并不是群。
4.〈Zn, +n〉为群,元素逆元：
x = 0, x –1 =0；
x  0, x –1 = n-x
P191 例题1；设R={0°，60°，120°，180°，240°，300°}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b,a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。并规定旋转360°等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证<R,★>是一个群。
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解：由题意，R上的二元运算★的运算表如上所示，由表知，运算★在R上是封闭的。
对于任意a, b, cR，(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c，而a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a，而总的旋转角度都是a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c)，即★运算满足结合性。
0o是幺元。
60o，120o，180o逆元分别是300o，240o，180o因此<R, ★>是个群
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例：
G = {a, b, c, e}，*如上表所示，是不是一个群？
易见
1）*运算对G是封闭的， e为幺元。
2) 可以验证，*运算可结合的。（在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素，）
3） G中任何元素的逆元就是它自己；。
故〈G，*〉为一个群。
此外，运算是可交换的，一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
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思考练****br/>已知：在整数集 I 上的二元运算定义为：a,b∈I，
a  b=a+b-2
证明：< I ,  >为群。
么元为：2
逆元：x-1＝4-x
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二、有限群和无限群
定义5- 设<G,  >是一群。如果 G是有限集，那么称<G,  >为有限群, G中元素的个数通常称为该有限群的阶数,记为|G|；如果G是无限集，则称<G,  > 为无限群。
例题1中所述的<R, ★>就是一个有限群，且|R|=6。代数系统<I,+>是一个无限群，这里I是所有整数的集合，+是普通加法运算。
< I , +>，< Q , +>，< R , +>是无限群。
< Nk,＋k>是有限群，是 k 阶群。
克莱因Klein四元群是4阶有限群。
只含单位元的群称为平凡群。<{0},+>是平凡群。是1阶群。
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代数系统小结：
至此，我们可以概括地说：广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。
<G,>
封闭性
广群
结合性
半群
含幺元
独异点
存在逆元
群
广群
半群
独异点
群
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群的基本性质
由于群的运算可结合，故对任何一个元a，其逆元都是唯一的，记a-1。
(a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)’)=(a-1 *a) *(a-1)’= (a-1)’)
定理5- 群中不可能有零元。
证明：当群的阶为1时，它的唯一元素是视作幺元。
设|G|>1 且群<G,>有零元 。那么群中任何元素x G，都有
x   ＝  x ＝ ≠ e，
所以，零元 就不存在逆元，这与<G,>是群相矛盾。
群中无零元！因为零元无逆元。
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