文档介绍：第29卷第11期 2010年11月大学物理 COLLEGE PHYSICS 一种角动量算符的简便推导方法岑天庆(中山市华侨中学,广东中山528400) 摘要:在量子力学教本中推导￡2及￡:的球坐标表达式一般都采用由直角坐标系到球坐标系的变量代换的方法,运算过程十分复杂,本文利用了球坐标系中坐标变量r、0、妒对正交基矢口。e。、e微分性质,采用球坐标系直接进行推导,简化量子力学中关于角动量算符￡2及￡:的的推导. 关键词:球坐标系;动量算符;角动量算符;简化推导中图分类号:0 文献标识码:A 文章编号:(2010) 在量子力学教本中推导JL2及￡,的球坐标表达式一般都采用由直角坐标系得到￡小三小￡;,利用￡2 =￡:+￡:+甏,由直角坐标系中坐标变量髫、Y、z,到球坐标系中坐标变量r、0、妒,球坐标系与直角坐标系的变换的方法,得到L2及￡:的球坐标表达式,、0、妒,对正交基矢微分e,、e。、e。的性质,采用球坐标系直接进行推导,使L2及￡,的球坐标表达式推导过程简化,为了进行下面的推导,先讨论球坐标系的相关性质. 1球坐标系的相关性质球坐标系一般具有以下3点性质: 1)e,上e。上e。,这是所有正交坐标系共同的性 2)球坐标系与直角坐标系的变换为:算=r· sin‘pcosO;y=rsin妒sin O;z=rcos p,这是我们用得最普遍的方法. 3)正交基矢e。、e:、e,对坐标变量的微分,该性质应用较少,对此进行如下讨论. 在直角坐标系中具有简单的关系丝:堡:丝::堡:丝:0. ax ax ax ay dy az n 一=一=一=U az az az 我们现在来看在球坐标系中正交基矢e,、e。、e。对坐标变量的微分性质. 1)当p、妒不变而r发生ar的变化时,e,大小和方向均未变化,只是沿,方向滑移了a,距离,故!兰: 0,e。、P。大小和方向均未变化,只是平行移动了Or距离,故孥:孚:0,即_Oe,:孥:孥:o. dr dr Or dr Or 2)当r、妒不变而0发生a日的变化时,相当于在妒=‰平面上,在r=r。圆周上讨论问题(图1).由于 P,始终垂直于9=妒。平面,所以0变化时e,的大小和方向均不发生变化,故鲁:0,由平面极坐标的性质有斋%,等一,(图2). 确面2已一,面一e,(图2)‘< I er .厂芬,‰、白 0 /≤乏 y 图l 3)当r、0不变而妒发生a妒的变化时,相当于在::rco$0平面上和P=rcos 0圆周上讨论问题(图 3),由于P,和e。不在该平面内,下面我们把P,和P。在该平面和垂直于该平面的方向上作如图4所示的分解,即e,=sinOep+cos Oe:,e口=COS Oep-sin Oe;,ep= 收稿日期:2010—06—09;修回日期:2010—07—08 作者简介:岑天庆(19“一)。男,苗族,贵州独山人,广东省中山市华侨中学高级教师万方数据第11期岑天庆:一种角动量算符的简便推导方法 27 z l 厂—\//\’e? 0影V\心,。‘\ / 图2在妒:妒。平面 siIl眈+cos眠,因鼍=。,故有丝:!堕!丝±!竺!丝! a妒坠:!竺!丝二塑丝! a妒 a妒等=