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高等代数(北大版第三版)习题答案II
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高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数(北大第三版)答案
目录
第一章
多项式
第二章
行列式
第三章
线性方程组
第四章
矩阵
第五章
二次型
第六章
线性空间
第七章
线性变换
第八章
—矩阵
第九章
欧氏空间
第十章
双线性函数与辛空间
注:
答案分三部分, 该为第二部分 ,其他请搜索, 谢谢!
12.设
A 为一个 n 级实对称矩阵,且
A
0
,证明:必存在实
n 维向量 X
0 ,使
X AX
0


因为 A
0,于是 A
0
,所以 rank
A
n ,且 A 不是正定矩阵。故必存在
非退化线性替换
X
C 1Y使
XAX YC1
ACY
Y BY
y12
y22
y p2
y p2
1
y 2p 2
yn2 ,
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在
Z
C
1Y 中,令 y
y
2
y
p
1
0, y p 1
y p 2
yn
1, 则可得一线性方程组
c11 x1
c12 x2
c1n xn
0
c p1 x1
c p2 x2
cpn xn
0

c p 1,1 x1
c p
1,2 x2
cp
1,n xn
1
cn1 x1
cn2 x2
cnn xn
1
由于 C
0 ,故可得唯一组非零解
X s
x1s , x2s ,
, xns 使
X s AX s
0 0
0 1 1
1
n p 0 ,
即证存在 X
0,使 X AX
0 。
13.如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵,证明:
A B 也是正定矩阵。

因为 A, B 为正定矩阵,所以
X AX , X BX 为正定二次型,且
XAX 0,
X BX
0 ,
因此
X
A B X
X AX
X BX
0 ,
于是 X
A
B X 必为正定二次型,从而
A
B 为正定矩阵。
14.证明:二次型 f x1 , x2 , , xn 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

必要性。采用反证法。若正惯性指数
p
秩 r ,则 p
r 。即
f x1 , x2 , , xn
y
2
y
2
y
2
y
2
1
y
2

1
2
p
p
r
若令
高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数(北大版第三版)习题答案II
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高等代数(北大版第三版)习题答案II
y1
y2
y p
0 , y p 1
yr 1 ,
则可得非零解
x1 , x2 , , xn
使 f
x1, x2 ,
, xn
0 。这与所给条件
f x1 , x2 , , xn
0 矛盾,故 p
r 。
充分性。由
p
r ,知
f x1, x2 ,
, xn
y12
y22
y p2 ,
故有 f x1 , x2 ,
, xn
0
,即证二次型半正定。
n
n
2

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