高等代数(北大版第三版)习题答案II.doc

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高等代数(北大版第三版)习题答案II
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高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大第三版）答案
目录
第一章
多项式
第二章
行列式
第三章
线性方程组
第四章
矩阵
第五章
二次型
第六章
线性空间
第七章
线性变换
第八章
—矩阵
第九章
欧氏空间
第十章
双线性函数与辛空间
注：
答案分三部分， 该为第二部分 ，其他请搜索， 谢谢！
12．设
A 为一个 n 级实对称矩阵，且
A
0
，证明：必存在实
n 维向量 X
0 ，使
X AX
0
。
证
因为 A
0，于是 A
0
，所以 rank
A
n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在
非退化线性替换
X
C 1Y使
XAX YC1
ACY
Y BY
y12
y22
y p2
y p2
1
y 2p 2
yn2 ，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在
Z
C
1Y 中，令 y
y
2
y
p
1
0, y p 1
y p 2
yn
1, 则可得一线性方程组
c11 x1
c12 x2
c1n xn
0
c p1 x1
c p2 x2
cpn xn
0
，
c p 1,1 x1
c p
1,2 x2
cp
1,n xn
1
cn1 x1
cn2 x2
cnn xn
1
由于 C
0 ，故可得唯一组非零解
X s
x1s , x2s ,
, xns 使
X s AX s
0 0
0 1 1
1
n p 0 ，
即证存在 X
0，使 X AX
0 。
13．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明：
A B 也是正定矩阵。
证
因为 A, B 为正定矩阵，所以
X AX , X BX 为正定二次型，且
XAX 0，
X BX
0 ，
因此
X
A B X
X AX
X BX
0 ，
于是 X
A
B X 必为正定二次型，从而
A
B 为正定矩阵。
14．证明：二次型 f x1 , x2 , , xn 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证
必要性。采用反证法。若正惯性指数
p
秩 r ，则 p
r 。即
f x1 , x2 , , xn
y
2
y
2
y
2
y
2
1
y
2
，
1
2
p
p
r
若令
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y1
y2
y p
0 ， y p 1
yr 1 ，
则可得非零解
x1 , x2 , , xn
使 f
x1, x2 ,
, xn
0 。这与所给条件
f x1 , x2 , , xn
0 矛盾，故 p
r 。
充分性。由
p
r ，知
f x1, x2 ,
, xn
y12
y22
y p2 ，
故有 f x1 , x2 ,
, xn
0
，即证二次型半正定。
n
n
2