LU矩阵分解.ppt

文档介绍：1 ii nij j ijiiu xubx????? 1????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????? 21 2 22 21 1 12 11b Ax?第三章线性方程组的解法 3 .3 LU 分解与矩阵求逆 2 3 .3 LU 分解与矩阵求逆问题),( )1()1(bA????????????????)1()1()1(2 )1(2 )1(2 )1( 22 )0(1 )0(1 )0( 12 )0( 110 0 n nn n n nbaa baa baaa??????? LU 分解行变换相行变换相当于左乘当于左乘初等矩阵初等矩阵 Gauss 消去法的消元过程矩阵描述:消元的每一步等价于左乘初等下三角矩阵,即: k =1, 有),( )0()0(1bAL?其中?????????????????1 1 1 1 21 1nl lL??nia al ii,,3,2 )0( 11 )0(11??? 3 ????????????????????????1 1 1 1 , ,1kn kk kl l L???第k次消元有),( )1()1(??? kkkbAL),( )()(kkbA? 1,,3,2,1??nk?)1(??? kkAL )(kA即 4 ??),( )0()0(bA 121LLL n????),( )1()1(??? nnbA 因此,消元完成后,有 A故为上三角矩阵。 1)n(AU ??,L 为单位下三角矩阵其中: )1(11 12 11 ?????? nnALLL? 7)- (3 LU ?从而 AL? 1?? 2L???1nL )1(?? nA ?????????????????)1()1( )1(2 )1(2 )1( 22 )0(1 )0(1 )0( 12 )0( 11nn n nn n nba baa baaa????? U=A U=A (n-1) (n-1) (3-6) (3-6) 8) (3 11 12 11??????nLLLL?5 ?????????????????????????1 1 1 1 1 1,3,2,1, 2,12,11,1 32 31 21nnnnn nnnllll lll ll lL??????即???????????????)1( )1(2 )1( 22 )0(1 )0( 12 )0( 11n nn n na aa aaa??????)(nAU且 U det ?A det 顺序主元??? ni i iia 1 )(6 定义定义. .称 A=LU (3-7)式为矩阵 A的 LU 分解或三角分解。当 L 为单位下三角矩阵时,称为 Doolittle 分解。当 U为上三角矩阵时,称为 Crout 分解。解解: :由上述分析不难得到????????????????? nn nk n kn kk k nkaaa aaa aaaA?????????????? 1 1 1111?????????????????1 1 1 1 1???????? nk n kll l ?????????????????)( )()( )1(1 )1(1 )1(11nnn k kn k kk nka aa aaa????????阶顺序主子式 k kA, kkkULA? kA det kU det ???? ki i iia 1 )( kL kU 问题问题:矩阵 A存在 LU 分解(即 Gauss 消去法可以执行)的条件是什么? 7 nk A k,,2,1 0 det ??? ni a i ii,,2,1 0 )(??? Gauss 消去法可以执行定理定理 0, det A 子式D 若n阶方阵A的顺序主 kk?? nk,,2,1??且唯一. .则A的LU分解存在[ [证证] ]存在性证明见前; 唯一性证明(略) . 8 基本的三角分解法(Doolittle 法) 0, 的顺序主子式D ) (a 若n阶方阵A k nn ij????A det knk,,2,1??即一, A的LU分解存在且唯则由上节可知, ????????????????? nn nk n1 kn kk k1 1n 1k 11aaa aaa aaa?????????????? A?????????????????1ll 1l 1 nk n1 k1??????????????????????????????) (n nn ) (kkn ) (kkk )(1n )(1k )( 11a aa aaa1 11 000???????? LU ? 9 ?????????????????1 1 1 1 1???????? nr n rll l ??????????????????? nn