第三节协方差及相关系数.ppt

文档介绍：第三节协方差及相关系数
第一页，共20页
问题的引入：
X与Y独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
X与Y不独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
= D(X)+D(Y)+2 [E(XY) -E(X)E(Y)]
第二页，共20页
E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差：

⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

第三页，共20页
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
3. 计算协方差的公式:
由协方差的定义及期望的性质，可得
一个简单计算公式：
第四页，共20页
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
Pi
X
Y
-2
-1
1
2
Pj
1
4
例1：设(X,Y)的分布律为：
第五页，共20页
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
第六页，共20页
二、相关系数：
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .
1、定义: 设D(X)>0, D(Y)>0,
称
在不致引起混淆时，记 为 .
2、计算: 设D(X)>0, D(Y)>0,
第七页，共20页
3、相关系数的性质：
证: 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b, 有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )
令
，则上式为
D(Y- bX)=
由于方差D(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。
第八页，共20页
2. X和Y独立时， =0(称X和Y不相关)，但其逆不真.
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故
= 0
但由
并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
第九页，共20页
，
Cov(X,Y)=?
事实上，X的密度函数
例2 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X,
求
第十页，共20页