文档介绍：第三节协方差及相关系数
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问题的引入：
X与Y独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
X与Y不独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
第三节协方差及相关系数
现在学****的是第1页，共20页
问题的引入：
X与Y独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
X与Y不独立时，
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
= D(X)+D(Y)+2 [E(XY) -E(X)E(Y)]
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E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差：

⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

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Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
3. 计算协方差的公式:
由协方差的定义及期望的性质，可得
一个简单计算公式：
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D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
4. 随机变量和的方差与协方差的关系
Pi
X
Y
-2
-1
1
2
Pj
1
4
例1：设(X,Y)的分布律为：
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协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
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二、相关系数：
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .
1、定义: 设D(X)>0, D(Y)>0,
称
在不致引起混淆时，记为 .
2、计算: 设D(X)>0, D(Y)>0,
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3、相关系数的性质：
证: 由方差的性质和协方差的定义知,
对任意实数 b, 有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )
令
，则上式为
D(Y- bX)=
由于方差D(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。
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2. X和Y独立时， =0(称X和Y不相关)，但其逆不真.
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故
= 0
但由
并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
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，
Cov(X,Y)=?
事实上，X的密度函数
例2 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X,
求
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存在常数 a,b(b≠0），
使 P{Y= a + b X}=1，
即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.
因而 =0，
即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
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考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，
以均方误差
e =E{[Y-(a+bX)]2}
来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 :
e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好.
用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b
相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
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=E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X)
- 2aE(Y)
e =E{[Y-(a+bX)]2 }
解得
这样求出的
最佳逼近为
L(X)=a0+b0X
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这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X
这一逼近的剩余是
若 =0， Y 与 X 无线性关系;
Y与X有严格线性关系;
若
可见,
若0<| |<1,
| | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高;
| | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
E[(Y-L(X))2]= D(Y)(1- )
现在学****的是第1