文档介绍：第三章导数及其应用
第三章导数及其应用
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第三章 导数及其应用
第一节 导数的观点及导数的运算
1． 导数的观点
均匀变化率
一般地，函数
f( x)在区间 [x 1， x2 ] 上的均匀变化率为
f x2 － f x1
.
x2－ x1
函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的导数①定义：
设函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)上有定义， x0∈ (a， b)，若 x 无穷趋近于 0 时，此值 yx＝
f x0＋ x － f x0
无穷趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝ x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f( x)
x
在 x＝ x0 处的导数，记作
f′ (x0)．
②几何意义：
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′ ( x0)的几何意义是在曲线
y＝ f( x)上点 (x0，f(x0)) 处的切线的
斜率．相应地，切线方程为
y－ f(x0)＝ f′ (x0)( x－x0 )．
(3) 函数 f(x)的导函数
若 f( x)对于区间 (a， b)内任一点都可导，则
f (x)在各点的导数也跟着自变量
x 的变化而
变化，因此也是自变量
x 的函数，该函数称为
f(x)的导函数．
2． 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
α
α－ 1
f(x)＝ x
f′ (x)＝ αx
f(x)＝ sin x
f′ (x)＝ cos_x
f(x)＝ cos x
f′ (x)＝－ sin_x
x
x
f(x)＝ a (a>0，且 a≠ 1)
f′ (x)＝ a ln_a
f (x)＝ ex
f′ (x)＝ ex
1
f(x)＝ logax(a>0，且 a≠ 1)
f′ (x)＝ xln a
1
f(x)＝ ln x
f′ (x)＝ x
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3． 导数的运算法例
[f (x ) ±g(x)] ′＝ f′ (x) ±g′ (x)；
[Cf ( x )] ′＝ Cf′ (x)(C 为常数 )；
[f (x ) ·g( x)] ′＝ f′ (x)g(x)＋ f (x)g′ (x)；
f x
′＝
f ′ x g x － f x g′ x
(4) g x
g2 x
(g(x)≠ 0)．
4． 复合函数的导数
若 y＝ f(u)， u＝ ax＋ b，则 y′ x＝ y′ u·u′ x，即 y′ x＝ y′ u·a.
[ 小题体验 ]
1．已知 f(x)＝ 13－ 8x＋ 2x2， f′ (x0)＝ 4，则 x0＝ ________.
分析： 因为 f′ (x)＝－ 8＋ 4x，所以 f′ (x0)＝－ 8＋ 4x0＝4，解得 x0 ＝3.
答案： 3
2．曲线 y＝ x3－ x＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．
答案： 2x－ y＋ 1＝ 0
y＝ f(x)是可导函数，如图，直线 y＝ kx＋ 2 是曲线 y＝ f(x)在 x
3 处的切线， 令 g(x)＝xf(x)，g′ (x)是 g(x)的导函数， 则 g′ (3)＝ _____.
分析： 由题图可知曲线 y＝ f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－ 1，所以
3
1
f′ (3)＝－ 3，因为 g(x)＝ xf(x)，所以 g′( x)＝ f(x)＋ xf′ (x)，所以 g′ (3)＝ f (3)＋ 3f′ (3)，又
1
由题图可知 f(3)＝ 1，所以 g′ (3) ＝ 1＋3× －3 ＝ 0.
答案： 0
α
α 1
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式
－
与指数函数的求
(x )′＝ αx
导公式 (ax)′＝ axln a 混杂．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的差异，前者只有一条，而
后者包含了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点