文档介绍：SPFA 算法求单源最短路的 SPFA 算法的全称是: Shortest Path Faster Algorithm 。最短路径快速算法- SPFA 算法是西南交通大学段凡丁于 1994 年发表的。适用范围:给定的图存在负权边,这时类似 Dijkstra 等算法便没有了用武之地,而 Bellman-Ford 算法的复杂度又过高, SPFA 算法便派上用场了。我们约定有向加权图 G不存在负权回路,即最短路径一定存在。当然,我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序,以判断是否存在负权回路,但这不是我们讨论的重点。算法思想:我们用数组 d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图 G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点 u,并且用 u点当前的最短路径估计值对离开 u点所指向的结点 v进行松弛操作,如果 v点的最短路径估计值有所调整,且 v点不在当前的队列中,就将 v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止。 1 定理: 只要最短路径存在,上述 SPFA 算法必定能求出最小值。证明: 每次将点放入队尾,都是经过松弛操作达到的。换言之, 每次的优化将会有某个点 v的最短路径估计值 d[v] 变小。所以算法的执行会使 d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路,所以每个结点都有最短路径值。因此,算法不会无限执行下去,随着 d值的逐渐变小,直到到达最短路径值时, 算法结束,这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。(证毕) 期望的时间复杂度 O(ke) ,其中 k为所有顶点进队的平均次数,可以证明 k一般小于等于 2。 2 实现方法: 建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为 0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。判断有无负环: 如果某个点进入队列的次数超过 N次则存在负环( SPFA 无法处理带负环的图) 单源最短路径中的松弛操作对于图中的每个顶点 v∈V,都设置一个属性 d[v] ,描述从源点 s到v的最短路径上权值的上界,称为最短路径估计。 pre[v] 代表 S到v的当前最短路径中 v点之前的一个点的编号,我们用下面的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。( Θ(V) 时间)。经过初始化以后,对所有 v∈V, pre[v]=NULL ,对 v∈ V-{s} ,有 d[s]=0 以及 d[v]= ∞。 3 实际松弛过程:在松弛一条边(u,v) 的过程中,要测试是否可以通过 u节点,对迄今找到的 v的最短路径进行改进;如果可以改进的话,则更新 d[v] 和 pre[v] 。一次松弛操作可以减小最短路径估计的值 d[v] ,并更新 v的前趋域 pre[v](S 到v的当前最短路径中 v点之前的一个点的编号)。下面的伪代码对边(u,v) 进行一步松弛操作。融入实际的单源最短路径的算法中。 RELAX(u, v, w) if(d[v]>d[u]+w(u,v)) {d[v]=d[u]+w(u,v); pre[v]=u;} 松弛是改变最短路径和前趋的唯一方式。 4 求右图 a到g的最短路径首先建立起始点 a到其余各点的最短路径表格 abcdefg d[i] 0∞∞∞∞∞∞首先源点 a入队,当队列非空时: 1、队首元素( a)出队,对以 a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有 b,c,d 三个点),此时路径表格状态为: abcdefg d[i] 0 248 15∞∞∞在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点需要入队,此时,队列中新入队了三个结点 b,c,d 5 队首元素 b点出队,对以 b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有 e点),此时路径表格状态为: abcdefg d[i] 0 248 15 30∞∞在最短路径表中, e的最短路径估值也变小了, e在队列中不存在,因此 e也要入队,此时队列中的元素为 c,d,e 队首元素 c点出队,对以 c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有 e,f 两个点),此时路径表格状态为: abcdefg d[i] 0 248 15 15 11∞在最短路径表中, e,f的最短路径估值变小了, e在队列中存在, f不存在。因此 e不用入队了, f要入队,此时队列中的元素为 d,e,f 6 队首元素 d点出队,对以 d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有 g这个点),此时路径表格状态为: abcdefg d[i] 0 2