文档介绍：微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理(guǎnlǐ)、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。
不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：
净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
一、微分方程模型(móxíng)简介
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引例(yǐn lì)一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下降到27oC，若人体(réntǐ)的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度(wēndù)；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
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由已知，
由
因此(yīncǐ)死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
可得微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)的特解：
，代入解得
图 1
尸体的温度下降(xiàjiàng)曲线
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建立微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如：
利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程．
2、利用微元分析方法建模
根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。
3、模拟近似法，如：
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量(dàliàng)的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
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微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)的建模步骤
1、翻译或转化：
在实际问题中许多表示导数的常用词，如
“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，
“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经
济学中)等．
2、建立瞬时表达式：
根据(gēnjù)自变量有微小改变△t时，因变量的增
量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令
△t →0，即得到 的表达式．
二、微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)模型
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3、配备物理单位：
在建模中应注意(zhù yì)每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件：
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学
陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
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案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动(zìdòng)消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计：
（1）星期六该女士的体重？
（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？
（3）若不进食，N周后她的体重是多少？
二、微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)案例分析
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解
1、翻译或转化：
2、配备物理(wùlǐ)单位：
3、建立表达式：
4、确定条件：
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1、“每天”：体重的变化＝输入(shūrù)一输出
其中输入(shūrù)指扣除了基本新陈代谢之后的净重量
吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式：
取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：
每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal)
每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal)
转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
3、体重的变化／天＝ (千克／天)
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1、翻译或转化：
2、配备(pèibèi)物理单位：
3、建立表达式：
4、确定条件：
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