文档介绍：数学建模
Mathematical Modelling
第五讲足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中，球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和
足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门命中率相同？
2. 针对球员在不同位置射门的威胁程度进行研究，并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员
的情况下，对于球员射门
威胁程度和威胁区域作进
一步研究.
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场上的最大射门角度之比称为命中率。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门的危险区域。
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
3．射门时无对手进行有效的防守。
4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等因素。
5．足球场地是国际上的标准场地。
四、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、宽69米，，。
球门区：，，一端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
　　罚球区：，,一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点