文档介绍：递推数列通项求解方法
类型一:()
思路1(递推法):
………。
思路2(构造法):设,即得,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即。
例1 已知数列满足且,求数列的通项公式。
解:方法1(递推法):………。
方法2(构造法):设,即,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即。
类型二:
思路1(递推法):…。
思路2(叠加法):,依次类推有:、
、…、,将各式叠加并整理得,即。
例2 已知,,求。
解:方法1(递推法):
………。
方法2(叠加法):,依次类推有:、、…、,将各式叠加并整理得,。
类型三:
思路1(递推法):……。
思路2(叠乘法):,依次类推有:、、…、,将各式叠乘并整理得…,即…。
例3 已知,,求。
解:方法1(递推法):…
。
方法2(叠乘法):,依次类推有:、、…、、,将各式叠乘并整理得…,即…。
类型四:
思路(特征根法):为了方便,我们先假定、。递推式对应的特征方程为,当特征方程有两个相等实根时, (、为待定系数,可利用、求得);当特征方程有两个不等实根时、时,(、为待定系数,可利用、求得);当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理,此处暂不作讨论。
例4 已知、,,求。
解:递推式对应的特征方程为即,解得、。设,而、,即
,解得,即。
类型五: ()
思路(构造法):,设,则,从而解得。那么是以为首项,为公比的等比数列。
例5 已知,,求。
解:设,则,解得,是以为首项,为公比的等比数列,即,。
类型六: (且)
思路(转化法):,递推式两边同时除以得,我们令,那么问题就可以转化为类型二进行求解了。
例6 已知,,求。
解:,式子两边同时除以得,令,则,依此类推有、、…、,各式叠加得,即
。
类型七: ()
思路(转化法):对递推式两边取对数得,我们令,这样一来,问题就可以转化成类型一进行求解了。
例7 已知,,求。
解:对递推式左右两边分别取对数得,令,则,即数列是以为首项,为公比的等比数列,即,因而得。
类型八:()
思路(转化法):对递推式两边取倒数得,那么,令,这样,问题就可以转化为类型一进行求解了。
例8 已知,,求。
解:对递推式左右两边取倒数得即,令则。设,即,数列是以为首项、为公比的等比数列,则,即,。
类型九: (、)
思路(特征根法):递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时,数列即为等差数列,我们可设(为待定系数,可利用、求得);当特征方程有两个不等实根、时,数列是以为首项的等比数列,我们可设(为待定系数,可利用已知其值的项间接求得);当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论。
例9 已知, (),求。
解:当时,递推式对应的特征方程为即,解得、。数列是以为首项的等比数列,设,由得则,,即,从而,。
常见递推数列通项公式的求法
重、难点:
1. 重点:
递推关系的几种形式。
2. 难点:
灵活应用求通项公式的方法解题。
【典型例题】
[例1] 型。
(1)时,是等差数列,
(2)时,设∴
比较系数: ∴
∴是等比数列,公比为,首项为
∴∴
[例2] 型。
(1)时,,若可求和,则可用累加消项的方法。
例:已知满足,求的通项公式。
解:
∵
∴
……
对这()个式子求和得: ∴
(2)时,当则可设
∴
∴解得:,
∴是以为首项,为公比的等比数列
∴
∴将A、B代入即可
(3)(0,1)
等式两边同时除以得
令则∴可归为型
[例3] 型。
(1)若是常数时,可归为等比数列。
(2)若可求积,可用累积约项的方法化简求通项。
例:已知:,()求数列的通项。
解:
∴
[例4] 型。
考虑函数倒数关系有∴
令则可归为型。
练习:
1. 已知满足,求通项公式。
解:
设∴
∴是以4为首项,2为公比为等比数列
∴∴
2. 已知的首项,()求通项公式。
解:
……
∴
3. 已知中,且求数列通项公式。
解:
∴∴
4. 数列中,,,求的通项。
解:
∴
设∴∴
∴