数值积分和数值微分.ppt

文档介绍：数值积分和数值微分
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Numerical Integration Based on Interpolation
数值积分的基本思想
许多实际问题需要计算定积分。如一块铝合金板，压成波纹板，其截面为正弦曲线，已知波纹板长度，求原材料铝合金板的长度(假设冲压过程铝合金板尺寸不变)，这就是求f(x)=sinx，丛x=0到x=l的曲线弧长L,即第2类椭圆积分
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另外解微分方程和积分方程也涉及计算定积分。
第5章 数值积分和数值微分
第二页，课件共70页
如果存在被积函数的原函数，则可由
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计算定积分。
这仅适用于简单的或特殊的场合。大量的定积分中的被积函数，诸如第2类椭圆积分以及sinx2， ， ， ，等等，不存在用初等函数表示的原函数，或原函数在积分区间内有无定义点，以及大部分无穷积分，另外，当f(x)由离散数据给出时，也无法用Newton-Leibniz公式。
第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
第三页，课件共70页
积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b]内存在一点，使得
即底为(b-a)，高为f()的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 I，f()称为区间[a,b]上f(x)的平均高度。问题是不知道点的具体位置，难以算出f()的准确值。因此，只要对平均高度f()提供一种算法，相应的就有一种求积方法。
如果用积分区间两个端点或中点的函数值f(a)， f(b),或
作为f(x)的近似值，则求积近似公式分别为
(ba)f(a)， (ba)f(b)， (ba)
后者称为中矩形公式。
第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
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如果以区间两端点函数值的算术平均值作为f()的近似值，则求积公式为
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它是以直线代替曲线，用梯形面积近似曲边梯形面积，故称梯形公式。
一般的，可以在区间[a,b]上适当选取某些节点xk，将f(xk)加权平均得到平均值f()的近似值，如此构造出的求积公式具有如下形式
式中xk为求积节点，Ak为求积系数，即伴随节点xk的权系数。
第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
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这类数值积分的方法通常称作机械求积，其特点是将定积分求值问题归结为被积函数值的计算，这就避开了Newton-Leibniz公式需要原函数的困难。
第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
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插值型求积公式
设给定一组节点
ax0<x1<<xnb，
且已知函数f(x)在这组节点的值，作Lagrange插值函数

由于代数多项式Ln(x)的原函数易求，用Ln(x)代替f(x)即可得到 的近似值

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第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
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为插值型求积公式，式中
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为求积系数。因此，Ak仅与节点xk的选取有关，不依赖于被积函数f(x)的的具体形式。
由插值余项定理，若f(x)Cn+1[a,b]，插值余项为
x[a,b]
x(a,b)
于是插值型求积公式的余项为
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第5章 数值积分和数值微分插值型求积公式
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梯形公式和Simpson公式
若取积分区间[a,b]的2个端点(a,f(a))和(b,f(b)作为插值节点，1次Lagrange插值基函数为
代入式()，有 ，代入式()，得
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称为梯形公式。插值余项为
第5章 数值积分和数值微分
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代入式()，有
因为(x-a)(x-b)在[a,b]上不变号，由积分中值定理得
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称为梯形公式的余项，其中h=ba。
若在积分区间[a,b]上取的3个插值节点x0=a， 和x2=b，2次Lagrange插值基函数为
代入式()，有
第5章 数值积分和数值微分梯形公式和Simpson公式
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