复变函数总结.doc

文档介绍：- -
. 优选-
复数
1=-1 欧拉公式 z=x+iy
实部Rez 虚部 Im z
2运算①
②
③
④
⑤ 共轭复数
共轭技巧
运算律 P1页
3代数，几何表示
z与平面点一一对应，与向量一一对应
辐角 当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z= k=±1±2±3…
把位于-π＜≤π的叫做Arg z辐角主值 记作=
4如何寻找arg z
例：z=1-i
z=i
z=1+i
z=-1 π
5 极坐标：，
利用欧拉公式
可得到
- -
. 优选-
6 高次幂及n次方
但凡满足方程的ω值称为z的n次方根，记作
即
第二章解析函数
1极限
2函数极限
复变函数
对于任一都有 与其对应
注：与实际情况相比，定义域，值域变化
例
② 称当时以A为极限
当时，连续
证明在每一点都连续
证：
所以在每一点都连续
3导数
例2 时有
证：对有 所以
例3证明不可导
- -
. 优选-
解：令
当时，不存在，所以不可导。
定理：在处可导u，v在处可微，且满足C-R条件 且
例4证明不可导
解： 其中 u,v 关于x,y可微
不满足C-R条件 所以在每一点都不可导
例5
解：
不满足C-R条件 所以在每一点都不可导
例6：
解： 其中
根据C-R条件可得
所以该函数在处可导
4解析
假设在的一个邻域内都可导，此时称在处解析。
用C-R条件必须明确u,v
四那么运算
☆
- -
. 优选-
例：证明
解：
那么
任一点处满足C-R条件
所以处处解析
练****求以下函数的导数
解:
所以
根据C-R方程可得
所以当时存在导数且导数为0，其它点不存在导数。
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数
① 定