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不等式证明基本方法
例1 ：求证：
分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。
证明：
评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论
2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选
用。
例2：设，求证：
分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。
证明：
，则
故原不等式成立
评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
，这样容易发现规律。
例3 ：已知求证：
证明：
ⅰ）当时，，则
ⅱ）当时，，则
ⅲ）当时，，则
评注：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一
步简化变形等，是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有时
需对字母进行分类讨论。
例4 ：已知且求证：
分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。
证法一：
ⅰ）当时，则
ⅱ）当时，则
又∵，∴
分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。
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证法二：∵
ⅰ）当时，与同为正
ⅱ）当时，与同为负
∴即
评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。
分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。
证法三：
ⅰ）当时，
ⅱ）当时，
评注：1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论
2．作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形
式的不等式。
例5 ：设都正数，求证：
分析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。
证明：
评注：（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要
证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法
2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推
出结论的一种证明方法
例6:设a,b,c均为正实数，求证：++≥++.
分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。
证法一：∵a,b,c均为正实数，
∴（＋）≥≥，当a=b时等号成立；
（＋）≥≥，当b=c时等号成立；
（＋）≥≥．当a=c时等号成立；
三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.
分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。
证法二：∵ ∴
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同理：
评注：运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方
法。
例7 : 已知a,b,c∈R+，且a+b+c=：
（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）