文档介绍：二、无界函数的反常积分
第四节
常义积分
积分限有限
被积函数有界
推广
一、无穷限的反常积分
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反常积分
(广义积分)
反常积分
第五章
一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
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定义1. 设
若
存在,
则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,
记作
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地, 若
则定义
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则定义
( c 为任意取定的常数)
只要有一个极限不存在, 就称
发散.
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
并非不定型,
说明: 上述定义中若出现
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它表明该反常积分发散.
引入记号
则有类似牛–莱公式的计算表达式:
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例1. 计算反常积分
解:
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思考:
分析:
原积分发散!
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零”的性质,
否则会出现错误.
例2. 证明第一类 p 积分
证:当 p =1 时有
当 p ≠ 1 时有
当 p >1 时收敛; p≤1
时发散.
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛, 其值为
当 p≤1 时, 反常积分发散.
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例3. 计算反常积分
解:
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线
所围成的
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
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定义2. 设
而在点 a 的右邻域内无界,
存在,
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地, 若
而在 b 的左邻域内无界,
若极限
数 f (x) 在[a , b] 上的反常积分, 记作
则定义
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则称此极限为函