文档介绍：第八章
第八节
一、多元函数的极值
二、最值应用问题
三、条件极值
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多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定义: 若函数
则称函数在该点取得极大值(极小值).
例如:
在点(0,0) 有极小值;
在点(0,0) 有极大值;
在点(0,0) 无极值.
极大值和极小值
统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点.
的某邻域内有
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说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点.
例如,
定理1 (必要条件)
函数
偏导数,
证:
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
取得极值,
取得极值
取得极值
但驻点不一定是极值点.
有驻点( 0, 0 ),
但在该点不取极值.
且在该点取得极值,
则有
存在
故
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时, 具有极值
定理2 (充分条件)
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
2) 当
3) 当
证明见第九节(P65) .
时, 没有极值.
时, 不能确定, 需另行讨论.
若函数
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例1.
求函数
解: 第一步求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步判别.
在点(1,0) 处
为极小值;
解方程组
的极值.
求二阶偏导数
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在点(3,0) 处
不是极值;
在点(3,2) 处
为极大值.
在点(1,2) 处
不是极值;
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及
是否取得极值.
解: 显然(0,0) 都是它们的驻点,
在(0,0)点邻域内的取值
, 因此 z(0,0) 不是极值.
因此
为极小值.
正
负
0
在点(0,0)
并且在(0,0) 都有
可能为
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二、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点
边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
为极小值
为最小值
(大)
(大)
依据
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例3.
解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为
则水箱所用材料的面积为
令
得驻点
某厂要用铁板做一个体积为2
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
因此可
断定此唯一驻点就是最小值点.
即当长、宽均为
高为
时, 水箱所用材料最省.
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板,
把它折起来做成
解: 设折起来的边长为 x cm,
则断面面积
x
24
一个断面为等腰梯形的水槽,
倾角为,
积最大.
为
问怎样折法才能使断面面
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