文档介绍：第七章随机规划
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第七章随机规划
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第六章随机规划
第一节问题的提出
随机规划所研究的对象是含有随机因素的数学规划问题。例如，我们 熟悉的线性规划问题
min f (X) =CX
()
则称其为随机
A， b，C的元
AX =b
X _0
如果其中的A，b，C的元素中部分的或全部的是随机变量， 线性规划问题。
在数学规划中引入随机性是很自然的事情。在模型中的 素常常代表价格、成本、需求量、资源数量、经济指标等参数。由于各种 不确定性因素的影响，这些参数经常出现波动。例如，市场上对某种商品 的需求量一般无法精确的预知，只能作出大致的预测，某种产品的生产成 本往往受原材料价格、劳动生产率等各种因素的影响而经常变化，这些变 化与波动，在许多场合可以用一定的概率分布去描述。因此，在数学规划 中引入随机变量，能够使模型更加符合实际情况，从而是的决策更加合理。
例1某化工厂生产过程中需要A，B两种化学成分，现有甲、乙两种 原材料可供选用。其中原料甲中化学成分A的单位含量为a/10，B的单位含 量为a/3 ;原料乙中化学成分A的单位含量为1/10，B的单位含量为1/3。根 据生产要求，化学成分A的总含量不得少于7/10个单位，化学成分A的总含 量不得少于4/3个单位。甲、乙两种原料的价格相同，问如何采购原料，使 得即满足生产要求，又是的成本最低？
显而易见，这个问题可以用线性规划模型来描述。根据题意，设原料 甲的采购数量为人，原料乙的采购数量为X2，容易得到如下线性模型：
min f (X)二片 x2
ax-! x2 - 7
bx-! x2 -4 ( )
% - 0, x2 - 0
第七章随机规划
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于是只要知道a和b的值，立即可以求得最优解
但是，如果由于某种原因，原料甲中化学成分A、B的单位含量不稳定，
其中E=（a,b）T是矩形｛H兰4, - <^1｝内的均匀分布随机向量，则问题（）
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就成为随机线性规划问题了。
由于引入了随机量，随机规划问题的分析与求解比普通数学规划问题 要复杂大多。在处理随机规划问题时，人们最容易想到的方法也许是将模 型中的随机变量用它们的期望值来代，从而得到确定性的数学规划模型， 再去求解。事实上，过去许多确定性数学规划正是这样建立起来的，但是 应当指出，这种处理方法在实际问题中并不总可行的。为了说明这一点， 我们不妨用此方法试解例1中的问题。容易求得
E（ ） =E［（a,b）T］二（5/2, 2/3）T， （）
将此值代入问题（），得到确定线性规划模型如下：
min f（X） = % x2
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x1 x2 _ 7
2
2
捲 X2 一4 （ ）
3
% =0,x2 丄 0
可以求得此问题的唯一最优解为
X =（X1 ,X2）t =（18/11, 32/11）t， （ ）
于是以此X*作为原随机线性规划问题（）的最优解。可是，由于问题（） 中的（a,b）T是随机向量，我们自然希望知道，上述X*是问题（）的最优解 这一事件的概率有多大？是问题（）的可行解这一事件的概率有多大？ 然而，我们发现，
丁 * * * *
P｛（a,b） ax1 +X