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石墨烯理论〔中〕
值得注意，Dirac点必须是偶数个，这时Hall电导才会呈整数量子化；如果有奇数个Dirac点，如此会出现半整数量子化，而具有时间反演对称性的晶格系统保证了Dirac点是成对出现〔Nielssen提出的“费米子加倍定理〞〕。
*费米子加倍定理 ：一个局域自由费米子晶格系统，假如其作用量具有手征性以与平移对称性如此费米子数会加倍。
我们不妨先考察量子场论中自由费米子作用量
现在将d维空间连续费米子场引入到离散晶格系统 〔表示晶格格点〕，作用量变为
为晶格常数，为晶格键方向上的单位矢量。计算动量空间上系统的Green函数
动量限制在Brillouin区中离散化，在离散取值附近展开Green函数，Green函数的极点代表粒子激发，我们会发现只有在Brillouin区顶点上的位置时Green函数才会得到与连续时候一致，并且这时候发现Brillouin区并不只包含一个费米子极点，计算每个顶点上对应的每个动量分量都会得到一个费米子传播函数，譬如一维晶格Brillouin区上有两个顶点上的费米子〔注意这时 符号改变，正好会消除手征反常〕；四维晶格格点中，动量分量取值，共十六个费米子。对于d维空间晶格，如此有个费米子。因此在理想离散晶格中费米子数目成倍增加。
，和的Dirac点因为自旋轨道耦合会打开体能隙，此时体态就变成了绝缘体;假设自旋守恒，Kane-Mele模型为
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不难发现这个模型正是前面讨论过的Haldane模型的叠加，其中自旋向上和自旋向下的电子分别处于一个Haldane模型晶格中，跃迁矩阵元互为共轭。以 为基，如此哈密顿量是两个自旋局部的直和
计算半有限系统会出现两条手征边缘态，穿过费米能级的四条边缘态，分别代表两个边缘上的上下自旋。
石墨烯系统里的自旋轨道耦合作用是个复杂的事情，一方面碳原子质量数小，因此自旋耦合轨道作用比拟弱。另一方面，多体格点系统里面，价电子自旋可以和本格点(on-site)碳原子，邻近原子间的价键轨道乃至次邻近的价键轨道动量进展耦合。一般我们关心的是轨道上价电子输运性质，尤其是在Dirac点处低能电子受到这种弱的自旋轨道耦合作用影响产生的不同的电子结构性质;在Dirac点处的零能态因为时间反演对称性是Krames二重简并的。在石墨烯平面系统中，价层原子轨道是形成的轨道，形成碳骨架的 键是杂化轨道。成分与三个成分之间有能量(键能)，还有价键轨道的能量。紧束缚模型的哈密顿量里面的电子跃迁能量自然也需要考虑这些不同原子轨道、价键轨道间的跃迁能量。从Thomas自旋轨道耦合项 出发，由于自旋轨道耦合比拟弱，我们可以将自旋耦合轨道作用项视为微扰项，可以在一个Brillouin区中考察Wannie表象下基态波函数完备集，两个顶点处也即Ferimi面附近的四重〔包含了自旋简并〕零能简并的轨道波函数
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〔即A,B两个碳原子上的原子轨道组合成〕与其他不与轨道简并的波函数〔〕 进展简并微扰计算，到二级近似，
当然也可以用Bloch表象波函数进展近似展开，那就是Dresselhaus计算石墨系统自旋耦合作用所采用的方法。算出来在点的微扰矩阵元为：
写出系统的低能有效自旋轨道耦合作用的哈密顿量
这是个很有意思的结果，第一项为哪一项平庸的对角项耦合能量，可以忽略;微扰的一级项是较为常见的Rashba自旋轨道耦合项，来源于电子自旋与相应原子轨道动量耦合，在无外场时候这个项不重要；微扰二级项是所谓内禀自旋耦合，由晶格对称性与碳原子轨道几何性质决定。三个类似“自旋〞的Pauli矩阵算符分别代表着电子真实自旋 、石墨烯晶格结构〔与A和B原子轨道之间的耦合轨道运动自由度相关〕的晶格赝自旋 以与 二重简并的谷自由度赝自旋 〔Brillouin区中包含和两个对称性不等价的简并能谷—— 二重谷简并 ) 。石墨烯中的这两个谷由时间反演对称性相联系，这与电子自旋十分类似，所以石墨烯的谷自由度可视为赝自旋〕以与真实的电子自旋，从构造上可以明显看出这个作用由晶格对称性和碳原子轨道几何性质所决定;这个项的出现在物理上的原因是轨道 轨道之间混合的结果，换言之单纯的原子轨道混合对此没什么贡献，轨道混合才有净贡献，这一点也从Haldane模型的对这个内禀自旋轨道耦合项写法中间接表现出来:跃迁格点间的两个键的单位矢量(从格点指向相邻的格点)叉乘后再和轨道上的电子自旋矢量点乘
我们说过这个内禀自旋轨道耦合