文档介绍：word
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习题
1．解 (1) A = (2) A =
A = (4) A =
2．解 (1)
(2)
3．解二次型f的矩阵
因f的秩为2 , 故R(A) = 2.
所以= 0, 由此解得c = 3.
4．证明设
作变换, 即 X=CY
其中, C为非奇异矩阵.
如此
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又
于是有, 故A与B合同.
习题
1．解
令即
如此为标准形。
令即
如此为标准形。
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〔4〕令
2．解不能。因变换为Y=CX
其中变换矩阵,
因
故C不是非奇异矩阵.
所以Y=CX不是非奇异线性变换。
因此不能认为f =是原二次型的标准形，也不能认为原二次型的秩为3.
以下采用配方法化原二次型为标准形:
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3．解 (1) 二次型矩阵为
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令
如此Q为正交矩阵
正交变换为X=QY
在此变换下,二次型的标准形为
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(3). 二次型的矩阵为
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故A的特征值为λ1= 0, λ2= 4, λ3= 9
由 (λ1E―A)X = 0解得对应于λ1= 0的特征向量为
X1
由 (λ2E―A)X = 0解得对应于λ2= 4的特征向量为
X2
由 (λ3E―A)X = 0解得对应于λ3= 9的特征向量为
X3
因A的3个特征值互异,故X1,X2,X3是正交向量组。
单位化得
令
如此Q为正交矩阵,
正交变换为X=QY
在此变换下 , 二次型的标准形为
4．证明设两个实对称矩阵为A与B,因A与B具有一样的特征多项式,
从而A与B有一样的特征值λi ( i = 1,2,…,n)
于是A与B均正交相似于
即A与B均合同于.
由合同关系的对称性与传递性知,A与B合同.
5．解变换前后的二次型的矩阵分别为
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因A与B正交相似,
于是
即 (λ―2)(λ2―6λ+9―a2) = (λ―1)(λ―2)(λ―5)
令λ=1, 得a2―4 = 0 →a =2
因a > 0
故a = 2
这时 A =
A的特征值为λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 5
由 (λ1E―A)X = 0解得对应λ1 = 1的特征向量为
X1 =
由 (λ2E―A)X = 0解得对应λ2 = 2的特征向量为
X2 =
由 (λ3E―A)X = 0解得对应λ3 = 5的特征向量为
X3 =
单位化得
所用的正交变换矩阵为
6．解第1题:
(1) 令
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如此.
正惯性指数为2, 负惯性指数为1，符号差为1.
(2) 令
如此
正, 负惯性指数都为1, 符号差为0.
(3) 令
如此
正惯性指数为1, 负惯性指数为3, 符号差为―2.
(4). f已是规X形.
正,负惯性指数均为n, 符号差为0.
第3题:
(1)
令
如此
正惯性指数为3, 负惯性指数为0, 符号差为3.
(2)
令
如此
正惯性指数为3, 负惯性指数为1, 符号差为2.
(3)
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令
如此
正惯性指数为2, 负惯性指数为0, 符号差为2.
习题
1．解 (1). A的各阶顺序主子式
―2 < 0
故f负定.
(2). A的各阶顺序主子式
5 > 0
>0
故f正定.
(3). A的k ( k = 1, 2, … , n ) 阶顺序主子式：
故f正定.
2．解 (1).