文档介绍：2014 线性代数讲义
授课教师：郭志军（2014,2—第二次修订）
【前言】本讲义取材于编者 2003—2004 年编写的讲义。讲
义内容虽历经十七年教学修订成稿，但错漏之处难免；请读
者不吝赐教（联系方式：******@）！本次修订中
未曾增添的内容如：线性规划的单纯形法、投入产出分析及
层次分析法等，请读者参考有关教材，敬请谅解！
第一章 行列式
§1 行列式的定义
§2 行列式的性质
§3 行列式的按行（列）展开与 Laplace 展开
§4 行列式的计算
§5 Cramer 法则
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念和性质
§2 分块矩阵、矩阵的初等变换与初等矩阵
§3 矩阵、行列式及其应用
第三章 线性空间与线性方程组
§1 线性空间的概念
§2 线性方程组及其解
§3 线性空间及线性映射
§4 欧几里得空间与线性赋范空间（Banach 空间、Hilbert
空间）简介
第四章 矩阵的相似、特征值（向量）及二次型
§1 矩阵的相似
§2 矩阵的特征值与特征向量
§3 矩阵的对角化、实对称矩阵
§4 二次型、矩阵的合同
§5 实二次型、正定二次型与正定矩阵
第一章 行列式（determinant）
行列式源于求解线性方程组，其基础内容于 19 世纪由
Cauchy 所奠定；行列式的应用主要体现在：①求解线性方
程组；②求矩阵的秩；③判断向量的相关性；④求矩阵的特
1
征值等等。目前，其理论也早已超出求解线性方程组的范围，
而广泛应用于经济学、力学、工程数学等其他领域。
§1 行列式的定义
⎧ ax11 1+ ax 12 2= b 1
对于二元方程组 ⎨ ，当 aa11 22− aa 12 21 ≠ 0 时，由消
⎩ax21 1+ ax 22 2= b 2
ba122− ba 212 ba211− ba 121
元法可求出 x1 = ，x2 = ；注意到：解的分子、
aa11 22− aa 12 21 aa11 22− aa 12 21
分母均是方程组中未知量的系数及常数项的 6 个元素中 4 个
元素的二次齐次多项式，其均由两项组成，而每一项都是不
同行、不同列的两个元素的乘积！
ab
若记 Dadbc==−，则方程组的解可写为：
2 cd
ba112 ab11 1
ba222 ab21 2
x1 = ， x2 = ；这里将上述 D2 中 abcd,,, 排成的两行
aa11 12 aa11 12
aa21 22 aa21 22
ab
两列定义为 ad− bc 的符号 称为二阶行列式。三元方程组
cd
的情形类似，也可通过定义所谓的“三阶行列式”，来描述
方程组的解；这里，不再累述！
从上述二、三阶行列式对于求解二、三元方程组的作用
的得到启发，能否“引进”“ n 阶行列式”来讨论 n 元方程组
的求解；我们先来分析二、三阶行列式 DD23, 的特点：
① DD23, 均是一个数，它们分别是 2!,3!项的代数和，而每一项
又是来自不同行、不同列的 2 个因子和3 个因子的乘积；②带
正号的项与带负号的项各占一半。
若规定：每一项的各因子 aij 按这样的顺序写出—第一个
下标排成自然序；则易见：对于 D2 ，带正号的项第二个下标
排列为12，带负号的第二个下标的排列为 21，与自然序12颠
倒；对于 D3 ，带正号