文档介绍：第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分的计算三、积分的性质四、小结与思考机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束 2 一、积分的定义 : 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. x y o A B 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向, . ? C 记为机动目录上页下页返回结束 3 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. x y o P P P P 与之相反的方向就是曲线的负方向. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 机动目录上页下页返回结束 4 : , , , , , , , , , , ) ( 1 1 0 B z z z z z A n C B A D C D z f w n k k ??????设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数 o x y A B1?nz kz 1?kz 2z 1z k? C 1? 2?, ) , ,2,1 ( 1 k k kn k z z ?上任意取一点在每个弧段???机动目录上页下页返回结束 5 , ) ( ) ( ) ( 1 1 1 k n k k n k k k k n z f z z f S ?????????????作和式 o x y A B1?nz kz 1?kz 2z 1z k? C 1? 2?}, { max 1 k n k s?????记, , 1 1 的长度这里 k k k k k k z z s z z z ???????, 0时无限增加且当?? n , ) ( , , 记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对 C z f S C n k?. ) ( lim d) ( 1 k n k k n C z f z z f ?????????机动目录上页下页返回结束 6 二、积分的计算定理: 且上可积在上连续,则在曲线是复平面上的逐段光滑设, d) ( ) , ( ) , ( ) ( ,C z z f C y x iv y x u z f C C???证??????? C C C x y x v y y x u i y y x v x y x u z z f d) , ( d) , ( d) , ( d) , ( d) ( , ) , ( ) , ( ) ( 内处处连续在如果 D y x vi y x u z f ??, ) , ( ) , ( 内均为连续函数在和那么 D y x v y x u 机动目录上页下页返回结束 7 , k k k i?????设) ( 1 1 1 ?????????? k k k k k k k iy x iy x z z z 因为) ( ) ( 1 1 ?????? k k k k y y i x x , k k y i x ????) , ( ) , ( ) ( k k k k k iv u f ??????? k n k k z f ????1 ) (?所以??????? n k k k k k k k y i x vi u 1 ) )]( , ( ) , ( [ ????机动目录上页下页返回结束 8 ???????????? n k k k k k k k n k k k k k k k y u x v i y v x u 1 1 ] ) , ( ) , ( [ ] ) , ( ) , ( [ ????????, ,都是连续函数由于 v u 根据线积分的存在定理, ??????????????? n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k y u x v i y v x u z f 1 1 1 ] ) , ( ) , ( [ ] ) , ( ) , ( [ ) ( ?????????? C z z f d) ( ?? C y v x u d d ?? C y u x v d d ? i ?机动目录上页下页返回结束 9 积分计算的参数方程法??????????????? t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { d )} ( )] ( ), ( [ ) ( )] ( ), ( [ { d) ( ???