第三章 非线性规划.pdf

文档介绍：第三章 非线性规划

§1 非线性规划
非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问
题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有
单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都
有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本
概念。
例 1 （投资决策问题）某企业有 n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个
项目投资。已知该企业拥有总资金 元，投资于第 个项目需花资金 元，
A i(i  1,,n) ai
并预计可收益 bi 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
1, 决定投资第i个项目
， ，
xi   i  1,,n
0， 决定不投资第i个项目
n n
则投资总额为 ，投资总收益为 。因为该公司至少要对一个项目投资，并
ai xi bi xi
i1 i1
且总的投资金额不能超过总资金 A ，故有限制条件
n

0  ai xi  A
i1
另外，由于 只取值 0 或 1，所以还有
xi (i  1,,n)

xi (1 xi )  0, i  1,,n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归
结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因
此，其数学模型为：
n
bi xi
i1
max Q  n
ai xi
i1
n
.
0  ai xi  A
i1

xi (1 xi )  0, i  1,,n.
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问
题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问
题，简记为（NP）。可概括为一般形式
min f (x)
(NP)
. h j (x)  0, j  1,, q

gi (x)  0, i  1,, p
-19-
其中