文档介绍：高中数学的解三角形方法大全
高中数学的解三角形方法大全
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实用标准
解三角形
．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求
其他元素的过程叫作解三角形。
以下若无特殊说明，均设ABC 的三个内角 A、B、 C 的对边分别为a、b、c ，则有以下关系成立：
1 ）边的关系：
2 ）角的关系：
a b c ， a c b ， b ca （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）
A B C，0A、B、C，0A B，A B，
sin A 0 ，sin( AB) sin C ， cos(A B)cosC ，sinABcosC
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（3 ）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形
板块一：正弦定理及其应用
a
b
c
R，其中 R 为
ABC 的外接圆半径
1 ．正弦定理：
sin B
2
sin A
sin C
．正弦定理适用于两类解三角形问题：
1 ）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；
2 ）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边
【例 1 】考查正弦定理的应用
（1 ）
ABC 中，若
B
60
，
tan A
2
，
BC 2
，则
AC
；
4
_____
（2 ）
ABC 中，若 A
30 ， b
2 ， a
1，则 C
____；
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实用标准
（3 ）
ABC 中，若 A
45 ， b 4
2 ， a
8 ，则 C ____；
（4 ）
ABC 中，若 a
a
b
c sin A ，则
的最大值为 _____。
c
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能
如图，在ABC 中，已知a、 b 、 A
（ 1 ）若A为钝角或直角，则当a b 时，ABC 有唯一解；否则无解。
2 ）若A为锐角，则当a b sin A时，三角形无解；当 a b sin A 时，三角形有唯一解；
当 bsin A a b 时，三角形有两解；当 a b 时，三角形有唯一解
实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。
板块二：余弦定理及面积公式
1 ．余弦定理：在ABC 中，角 A、 B、C 的对边分别为a、b、c ，则有
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实用标准
cos A
b2
c2
a 2
a
2
b
2
c
2
2bccos A
2bc
a 2
c2
b 2
余弦定理： b 2
a 2
c 2
2accosB
，
其变式为： cosB
c2
a 2
b 2
2abcosC
2ac
cosC
a 2
b2
c 2
2ab
．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：
1 ）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；
2 ）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦
定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；
说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决
．三角形的面积公式
（1） S ABC
1 aha
1 bhb
1 chc （ ha 、 hb 、 hc 分别表示 a 、 b 、 c 上的高）；
2
2
2
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2 ）S
3 ）S
4 ）S
ABC
1 ab sin C