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圆锥曲线与方程
考纲导读
1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．
2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
知识网络
圆锥曲线
椭圆定义
标准方程
几何性质
双曲线定义
标准方程
几何性质
抛物线定义
标准方程
几何性质
第二定义
第二定义
统一定义
直线与圆锥曲线的位置关系
椭圆
双曲线
抛物线
a、b、c三者
间的关系
高考导航
圆锥曲线是高中数学的一个重要容，它的根本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，根本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要表现出以下几个特点：
1．圆锥曲线的根本问题，主要考查以下容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程与a、b、c、e、p五个参数的求解．
②圆锥曲线的几何性质的应用．
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种根本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．
3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉与圆锥曲线的性质和直线的根本知识以与线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求〞的方法、对称的方法与韦达定理，多以解答题的形式出现．
4．求与圆锥曲线有关的参数或参数围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．
第1课时 椭圆
根底过关
1．椭圆的两种定义
(1) 平面与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．
(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．
2．椭圆的标准方程
(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，(>>0，且
(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：．
3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进展讨论)
(1) 围：≤x≤，≤y≤
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为．
(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．
(4) 离心率：(与的比)，，越接近1，椭圆越； 越接近0，椭圆越接近于．
(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，如此，=．
(6) 椭圆的参数方程为．
4．焦点三角形应注意以下关系：
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(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)
典型例题
例1. 求适合如下条件的椭圆的标准方程：
〔1〕两个焦点的坐标分别是〔－4，0〕，〔4，0〕，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；
〔2〕两个焦点的坐标分别是〔0，－2〕、〔0，2〕，并且椭圆经过点；
〔3〕长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A〔-3，〕
变式训练1：根据如下条件求椭圆的标准方程
(1) 和椭圆共准线，且离心率为．
(2) P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点
．
例2. 点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，假如PF1⊥PF2求：
(1) 椭圆的方程；(2) △PF1F2的面积．
解：〔1〕法一：令F1(－C，0)，F2(C，0)
∵ PF1⊥PF2，∴＝－1即，解得c＝5
∴ 椭圆的方程为
∵ 点P〔3，4〕在椭圆上，∴
解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴a2＝5舍去.
故所求椭圆的方程为.
法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一)
〔2〕由焦半径公式：
| PF1 |＝a＋ex＝3＋×3＝4
| PF2 |＝a－ex＝3－×3＝2
∴＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×2＝20