文档介绍：北京交通大学
2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷
学院_____________ 专业___________________ 班级____________
学号_______________ 姓名_____________
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
阅卷人
请注意:本卷共十道大题,如有不对,请与监考老师调换试卷!
一、求证
证明:设,则。
又因为
所以时,进而有
设时方程有且仅有一个解,求的范围。
解:设,则
(1)时,所以时方程有且仅有一个解;
(2)时,显然时方程有且仅有一个解;
(3)时,当时,当时,所以为其最小值,只有当其为零时方程有且仅有一个解;此时得。
总之,的范围为
三、设函数求(1)的定义域;(2)的单调区间和极值,图形的凹凸区间及拐点;(3)图形的渐近线方程。
解:(1)的定义域为
(2)
所以为单增区间,为单减区间,为单减区间,为单减区间,为单增区间。为极大值,为极小值。
为凸区间,为凹区间,为凸区间,为凹区间。拐点为
(3)显然为两条竖直渐近线。
,所以为一条斜渐近线。
四、求极限
解:
五、在抛物线上求一点,使抛物线在该点处的切线与直线围成的三角形面积为最大。
解:设切点为,则切线为它与轴交于,与交于。
三角形面积为当时,,当时,,因此为最大值,所求点为。
六、设函数有连续的二阶导数,且求及极限
解:
所以故,
所以
由泰勒展式,,
所以
所以,由此得
七、设函数在上二阶可导,且(其中),则至少存在一点,使得
证明:定义,,则可导,由,若补充定义,则在连续。由,分别在区间和对应用罗尔定理,知存在,满足
,
令则。再在区间上对用罗尔定理,得存在满足
八、求极限
解:由泰勒展式,
所以
九、计算下列不定积分:
(1)(2)(3)(4)
(5)(6)(7)
(8)(9)(10)
解:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
十、设及求的表达式。
解:令,则,积分得
由可知
再积分得由
可知