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函数零点问题典例〔含答案〕
1、(1)求函数f(x)＝2x－－2的零点；
(2)a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
①数a和b的值；
②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求函数g(x)的极值点．
2、(1)判断函数f(x)＝2－x－lg(x＋1)的零点个数；
(2)函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0)．
①假设函数g(x)－m有零点，数m的取值围；
②确定实数t的取值围，使得关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个相异实根
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3、函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在定义域的零点个数．
4、函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)假设函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，数m的取值围；
(2)假设关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)，数m的取值围．
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5、函数f(x)＝x＋，h(x)＝. (1)设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求函数F(x)的单调区间与极值；
(2)设a∈R，解关于x的方程log4＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．
6、函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)假设关于x的方程kf(x)＝1恰有3个不同的根，数k的取值围．
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1、
(1)求函数的零点，即求方程2x－－2＝0的根．
(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点．极值点一定是导函数的零点．
【解析】
(1)令2x－－2＝0，
由2x>0，方程两边同时乘以2x，
得(2x)2－2×2x－1＝0.
由一元二次方程的求根公式，得2x＝1±.
由2x>0，知2x＝1＋.
∴函数f(x)＝2x－－2的零点是x＝log2(1＋)．
(2)①由题设，知f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝＝0，b＝－3.
②由(1)，得函数f(x)＝x3－3x.∴f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)．
∴方程g′(x)＝0的根是x1＝x2＝1，x3＝－2.
∴函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0，当－2<x<1时，g′(x)>0，
∴－2是极值点．
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又当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是极值点．
∴函数g(x)的极值点是－2.
【点评】含指数式和对数式的方程常