文档介绍：第三章线性系统的稳定性分析 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后,系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态,则系统是稳定的。否则,系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的,不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此,稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言,其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应,因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性,从而外部稳定性和内部稳定性的概念。应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而,对于非线性系统和线性时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难,甚至是不可能的。李雅普诺夫(. Lyapunov) 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系,然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法,最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。虽然在非线性系统的稳定性问题中, Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位,但在具体确定许多非线性系统的稳定性时,却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中,对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 3 .2 外部稳定性与内部稳定性 外部稳定: 考虑一个线性因果系统,如果对一个有界输入 u(t ),即满足条件: 1 ( ) u t k ? ??的输入 u(t ),所产生的输出 y(t )也是有界的,即使得下式成立: 2 ( ) y t k ? ??则称此因果系统是外部稳定的,即 BIBO ( Bounded Input Bounded Output )稳定。注意:在讨论外部稳定性的时候,我们必须要假定系统的初始条件为零,只有在这种假定下面,系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。系统外部稳定的判定准则系统的 BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。 a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统,设( , ) G t ?为脉冲响应矩阵,则系统 BIBO 稳定的充要条件是,存在一个有限常数 k ,使对于一切 0 [ , ), ( , ) t t G t ?? ?的每一个元( , )( 1, 2,....... ; 1, 2,..... ) ( , ) ijt ijt g t i q j p g t d k ?? ?? ?? ???有即, ( , ) G t ?是绝对可积的。 b) 定常情况下的判定准则: 对于零初始条件的线性定常系统,初始时刻 t 0 =0,G(t) 为脉冲响应矩阵, G(s) 为传递函数矩阵,则系统 BIBO 稳定的充要条件是,存在一个有限常数 k, G(t) 的每一个元( )( 1, 2,....... ; 1, 2,..... ) ( ) ijt ijt g t i q j p g t d k ?? ?? ???有或者等价的: 当 G(s) 为真的有理分式函数矩阵时, G(s) 的每一个传递函数 g(s )的所有零极点都具有负实部。对于一个定常线性系统)()()( )()()(ttt ttt Du Cx y Bu Ax x?????, 其传递函数矩阵为: DBAICAI DBAICG????????)]( Adj [) det( 1)()( ? 1ss ss 。因此,只要满足系统的全部特征根具有负实部根,则系统是 BIBO 稳定的。 内部稳定性对于线性定常系统. X AX Bu y CX Du =+,=+ 如果外部输入 u(t )为 0 ,初始状态 x 0 为任意,且由 x 0 引起的零输入响应 t 0 ; 0) ? 0(;;x 满足: lim t 0 ; 0) 0 x???? 0(;;x 则称系统实内部稳定的,或称为是渐进稳定的。判定准则: 对于系统)()(tt Ax x??,其解为)0()(xx Atet?。因此,对于上面所列的状态空间表达,它的渐进稳定的充分必要条件是矩阵 A 的所有特征值具有负实部。 内部稳定性和外部稳定性之间的关系对线性定常系统的内部稳定和外部稳定的等价关系,得出如下结论: 1. 线性定常系统是内部稳定的,则其必为 BIBO 稳定的。 2. 线性定常系统是 BIBO 稳定的,不一定就是内部稳定的。 3. 线性定常系统是能控制和能观测的,则其内部稳定性和 BIBO 稳定是等价的。内部稳定外部稳定图3 .1 外部稳定与内部稳定的关系 3 .3 Lyapunov 意义下的稳定性问题对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的, 那么有许多稳定性判据,如 Routh-Hurwitz 稳定性判据和 Ny