文档介绍：主要内容二重积分定义几何意义性质计算法应用二重积分的定义定义设),(yxf 是有界闭区域 D上的有界函数,将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域1??,, 2??…,, n??其中i??表示第i 个小闭区域,也表示它的面积,在每个i??上任取一点),( ii??,作乘积),( iif?? i??,),,2,1(ni??,并作和ii ni if??????),( 1 , 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 这和式的极限存在,则称此极限为函数),(yxf 在闭区域D 上的二重积分,记为?? Ddyxf?),( ,即?? Ddyxf?),( ii ni if?????????),( lim 1 0 . 二重积分的几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值. x zy oD ),(yxfz??i??),( ii?? x zy o),(yxfz? D ?i??),( ii??二重积分的性质性质1 当k 为常数时, .),(),( ????? D Ddyxfkdyx kf??性质2 ??? Ddyxgyxf?)],(),([.),(),( ?????? DDdyxgdyxf??性质3 对区域具有可加性.),(),(),( 21 ???????? DDDdyxfdyxfdyxf???性质4 ?若为D的面积, .1 ??????? DDdd???)( 21DDD??性质5 若在 D上),,(),(yxgyxf?.),(),( ????? DDdyxgdyxf??特殊地.),(),( ????? DDdyxfdyxf??则有设M 、m 分别是),(yxf 在闭区域D上的最大值和最小值,?为D 的面积,则性质6 设函数),(yxf 在闭区域D 上连续,?为D 的面积,则在D 上至少存在一点),(??使得性质7 ???? DMdyxfm???),(????????),(),(fdyxf D 二重积分的计算,:bxaD??).()( 21xyx????[X-型] .),(),( )()( 21 ????? D ba xx dyyxf dx dyxf ???(1)直角坐标系下 .),(),( )()( 21 ????? D dc yy dx yxf dy dyxf ???,:dycD??).()( 21yxy????[Y-型] (2)极坐标系下 .) sin , cos ( )()( 21???????????? rdr rrfd ?? D rdrd rrf???) sin , cos ( ,?????).()( 21??????r??)( 2???r)( 1???rA o D D.) sin , cos ( )(0?????????? rdr rrfd ,?????).(0????r ?? D rdrd rrf???) sin , cos ( )(???r?A o D? D : D :Do A ?? D rdrd rrf???) sin , cos (.) sin , cos ( )(0 20????????? rdr rrfd ).(0????r )(???r,20???? D :注意: 当被积函数为),( 22yxf?积分区域是圆或圆的一部分时,在极坐标系下化为二次积分, 常可简化计算。二重积分的应用(1) 体积之间直柱体的体积与区域在曲面 Dyxfz),(???? D dxdy yxfV.),( 设S曲面的方程为: ).,(yxfz?曲面 S的面积为;1 22 dxdy y zx zA xyD ?????????????????????(2) 曲面积(3) 重心当薄片是均匀的,重心称为形心., 1 ??? D xd Ax ?. 1 ??? D ydAy ???? DdA?其中,),( ),( ????? D Ddyx dyxxx ????.),( ),( ????? D Ddyx dyxyy ????设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域D ,在点),(yx 处的面密度为),(yx?,假定),(yx?在D 上连续,平面薄片的重心