文档介绍：算术平均数与几何平均数( 1) 教学目的: . 2. 理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神,进一步加强学生的实践能力. 教学重点: 均值定理证明教学难点: 等号成立条件教学过程: 一、复****引入:不等式的基本性质. 二、讲解新课: : 如果)""(2 R,, 22号时取当且仅当那么?????baab baba :如果 a,b 是正数,那么).""(2 号时取当且仅当????baab ba 说明:ⅰ)我们称 ba ba,2 为?的算术平均数,称baab,为的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ)ab baab ba????2 2 22和成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数.ⅲ)“当且仅当”的含义是充要条件. “半径不小于半弦”. 以长为 a+b的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC= a,CB=b. 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD ′, 那么 CB CA CD ?? 2,即 ab CD ?这个圆的半径为 2 ba?,显然,它不小于 CD ,即 ab ba??2 ,其中当且仅当点 C与圆心重合;即 a=b 时,等号成立. 三、讲解范例: 例1已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y有最小值;2P ( 2)如果和 x+y是定值 S,那么当 x=y时,积 1 2S 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; a b ab D' D A B C ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ): ab>0,求证: 2 b a a b ? ?.当且当 a=b时等号成立. 反思:由本例可以得出什么结论? 例3已知 a, b都是正数,求证 2 2 2. 1 1 2 2 a b a b ab a b ? ?? ???当且当 a= b时等号成立. (介绍 n 个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概念及它们的关系) 四、课堂练****a、b、c都是正数,求证( a+b)(b+c)(c+a)≥8abc x、y都是正数,求证:(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3. :(2 ba?) 2≤2 22ba?. 五、作业: (1) “a+b≥2ab ”是“a∈R +,b∈R +”的() (2) 设b>a>0,且 a+b=1,则此四个数 2 1 ,2ab,a 2+b 2,b中最大的是() 2+b 1 (3) 设a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有() ≤ab≤2 22ba? <1<2