文档介绍：参考解答
1、计算下列对弧长的曲线积分：
（1），其中L为由Oxy平面上的直线及抛物线所围成区域的边界。
第1（1）题
解：，
（2），L为椭圆，其周长为a。
解：
注意第一类曲线积分的对称性：若曲线关于x（y）轴对称，而被积函数关于y（x）为奇函数，则曲线积分为零！
（3），L为圆周（）。
解：圆周之参数方程为（），故
（4），L为
解：
（5），L圆周为
解：因，故
2、计算下列对坐标的曲线积分：
（1），其中L为折线上从点到点再到点的二线段。
解：，
（作代换，知第二个定积分与第一个相等）
（2），L是圆周，从z轴正向看去，该圆周取逆时针方向。
解：L的参数方程为，故得
3、利用Green公式计算下列曲线积分：
（1）， L由，与x轴围成，沿逆时针方向。
第3（1）题
解：L为封闭曲线，如图所示，直接运用Green公式。
（）
但
，
故得。从而得
（2）， L由的正向。
第3（2）题
解：，，。但和在L所围正方形区域内并不连续（在点
处两者根本不存在），故不满足Green公式之条件。为此，采用“挖地雷”方法：取以原点为心、（或小于的任意正数）为半径的圆l，并取逆时针方向，如图所示。其参数方程为：
于是，l和L所围区域D成为“安全地带”，在D上，P和Q均具有一阶连续偏导数，Green公式成立。于是
因此，
4、计算积分，其中L是由点沿曲线到点的弧段。
第4题
解：这里，。因此，在曲线L和线段AB所围闭区域上，曲线积分与路径无关。这里，线段AB的方程为，，方向为从点A指向点B。
因此，
。
5、验证是某函数的全微分，并求出这样的一个。
解：这里，故
因而，故知为某函数的全微分。以下我们用两种方法来求。
方法1（利用曲线积分）：
方法2（利用待定函数法）：
因，故得
（将y看作常数）
（其中为待定函数，与x无关）
于是，
但另一方面，，故
于是得，。因此所求函数为
，
其中C可取任意常数。
6、计算下列对面积的曲面积分：
（1），其中是锥面在柱体内的部分。
第6（1）题
解：
（2），其中为球面。
解：
因关于三个坐标面都是对称的，故
，
，
于是
利用轮换对称性，
因此，
（注意球的表面积为）
于是得
（3），其中为平面被柱面所截下的部分。
解：
第 6（3）题
7、计算下列对坐标的曲面积分：
（1），其中是圆柱面被平面和所截下的部分，取外侧。
第7（1）题
解：被yoz平面分成和两片，对于x轴正向而言，取上侧，而取下侧，它们在yoz平面上的投影区域和如上图所示。于是
因此。
（2），其中是球面，的外侧。
解：利用公式得
（3），其中是锥面被，所截部分的外侧。
第 7（3）题
解：利用公式，得
注：第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）的解题步骤为“一投”、“二代”、