文档介绍：.
泛函分析知识点
知识体系概述
(一)、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子
1. 距离空间的定义： 设X是非空集合，若存在一个映射 d: XX心R,使得 x,y,z X,下列
距离公理成立：
(1 )非负性：d(x,y) > 0, d(x,y)=O x=y;
(2 )对称性：d(x,y)=d(y,x);
(3)三角不等式：d(x,y) < d(x,z)+d(z,y);
则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作(X, d)
2. 几类空间
例1 离散的度量空间
例2 序列空间S
例3 有界函数空间B(A)
例4 可测函数空M(X)
例5 C[a,b]空间即连续函数空间
例6 l2
第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
1. 开球
定义 设(X,d)为度量空间，d是距离，定义
U(x 0, ) = {x € X | d(x, x 0) < }
为X0的以 为半径的开球，亦称为 X0的 一领域.
2. 极限
定义 若{Xn } X, x X, . lim d xn,x 0则称x是点列{Xn }的极限.
n
3. 有界集
定义若d A sup d x, y ，则称A有界
x,y A
4. 稠密集
定义设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令 M表示M的闭包，如果E M , 那么称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。
5. 可分空间
定义 如果X有一个可数的稠密子集，则称 X是可分空间。
第三节连续映射
1. 定义 设X=(X,d),Y=(Y , d)是两个度量空间，T是X到Y中映射，x0 X，如果对于任 意给定的正数 ，存在正数 °，使对X中一切满足d x,X0 的x,有
d Tx,Tx°
则称T在X。连续.
Y, d x X
2. 定理 1 设 T 是度量空间（ X,d ）到度量空间 中的映射，那么 T 在 X0 X 连续的充
要条件为当 Xn X0 n 时，必有 TXn TX0 n
3. 定理2度量空间X到丫中的映射T是X上连续映射的充要条件为 丫中任意 开集M的原像T 1M是X中的开集.
第四节 柯西（ cauchy ）点列和完备度量空间
1•定义 设X=（X,d）是度量空间， Xn是X中点列，如果对任意给定的正数 0,
存在正整数 N N ,使当 n,m>N 时，必有
d Xn,Xm ，
则称 Xn 是 X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（ X,d ）中每个柯西点列都在
（X,d ）中收敛，那么称（X,d ）是完备的度量空间.
【注意】（ 1） Q 不是完备集
（ 2） Rn 完备
（ 3） cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是 cauchy 列.
（ 4） C[a,b] 完备
2•定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为 M是X中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化
1•定义 设（X,d）,（ X ,d）是两个度量空间，如果存在 X到X上的保距映射T，
即d Tx,Ty d x,y，则称（X,d ）和（X,d）等距同构，此时T称为X到X上 等距同构映射。
2•定理1 （度量空间的完备化定理） 设X= （X,d）是度量空间