文档介绍：多目标优化方法
基本概述
几个概念
优化方法
多目标优化基本概述
现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活和工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度和进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为:
X=[x1,x2,…,xn ]T ---------- n维向量
min F(X)=[f1(X),f2(X),…,fn(X)]T----------向量形式的目标函数
. gi(X)≤0,(i=1,2,…,m)
hj(X)=0,(j=1,2,…,k) --------设计变量应满足的约束条件
多目标优化问题是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。
多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。
最优解X*:就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(
X*)≤f(X),则X*为优化问题的最优解。
劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f(x)≤f(X*),
即存在比解更优的点。
非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).
如图:在[0,1]中X*=1为最优解
在[0,2]中X*=a为劣解
在[1,2]中X*=b为非劣解
多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。
多目标优化方法
多目标优化方法主要有两大类:
1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好的解
将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
如:分层系列法等。
1、主要目标法
求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标,而其他目标只需满足一定要求即可,因此可将这些目标转化成约束条件,也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差,这样就变成单目标处理方法。
例如:多目标函数f1(x),f2(x),.....,fn(x)中选择fk(x)作为主要目标,这时问题变为求 min fk(x)
D={x|f min≤f i(x)≤f max},D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。
统一目标法
通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数,从而将多目标函数转变为单目标函数求解。
①线性加权和法
根据各目标函数的重要程度给予相应的权数,然后各目标函数与权数相乘再求和即构成单目标函数。例如:根据各目标函数f1(X),f2(X),...,fn(X)的重要程度,对应确定一组权数ω1,ω2,ωn
进行构造f(X)=ω1f1+ω2f2+…+ωn fn,其中,于是求f(X)的最优解即为多目标函数的最优解。(重点是权数的确定)
下面介绍两种确定权数的方法:
1、容限法。求出各目标函数在区域的变化范围a≤f(x)≤b,则取Δ=为其容限,则权数为ω=。这种方法目