文档介绍：定比分点的向量公式及应用
浙江省永康市古山中学(321307) 吴汝龙
定比分点的向量公式:在平面上任取一点O,设,,若,则。
特别地,当时,即P为线段的中点,则有。
用定比分点的向量公式,可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。
一、求定比的值:
例1:已知A(),B()及直线:,直线AB与相交于P点,求P点分的比。
解:设,则由,得
又∵P点在直线上,
例2:如图所示,在中,D为边BC上的点,且,E为AD上的一点,且,延长BE交AC于F,求F分有向线段所成的比。
解:∵,∴,
又,∴,
而,
∵B、E、F共线,∴设,而
∴,解得。
二、求直线上点的坐标
例3:已知点,,点C为直线AB上一点,且,求C点的坐标。
分析:先求出C点分的的值,再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。
解:∵,∴,
利用定比分点的坐标公式有
∴C点的坐标为。
例4:已知,,且,,求点C,D的坐标。
分析:由题设,运用定比分点的向量公式,可以求得点C,D的坐标。
解:设,,
∴根据定比分点的向量公式有,
同理由得,
∴根据定比分点的向量公式有,
∴点C的坐标为,D点的坐标为。
三、证明三点共线
例5:已知点,,,求证:A、B、C三点共线。
证明:设在上,分的比为,则
∴,解得
∴与重合,
由题设知C在AB上,
∴A、B、C三点共线。
四、求字母系数范围
例6:已知点,,一次函数的图象与线段AB有公共点,求实数的取值范围。
解:设为一次函数图象与线段AB的交点,把P看作的定比分点,其定比为,则有,
由定比分点公式有
而P点在函数图象上,
解得,
∴,即或,
而当P点与B重合时,也适合。
∴或。
例7:若直线与连接,两点的线段有公共点,求实数的取值范围。
解:当直线过P点时,,直线过Q点时,,
当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时,设这个交点分的比为,
由定比分点公式有
∴M点的坐标为,
又∵直线过点M,
又∵点M在线段PQ上知,
∴,解得或,
∴或。
五、解决平面几何问题:
例8:如图所示,在平行四边形ABCD中,P点在线段AB上,且,Q在线段AD上,且,BQ与CP相交于R,求的值。
分析:取两基底,由定比分点的向量公式将有