文档介绍：确定性问题的 Monte Carlo 方法求解–定积分–椭球偏微分方程–线性代数方程组–线性积分方程–非线性方程组积分计算?? badxxgI)(条件: 1. g(x)>=0 2. 1)(?????dxxg则I是一个概率积分, I=Pr(a<= ?<b) Monte Carlo 求解步骤 1. 产生服从分布 g(x) 的随机变量 xi 2. 检查 xi是否落入积分区域。 a<=xi<b 3. 计算落入该区域的概率投点法 01 1G y=g(x) 随机点( ?,?) 计算落入 G的概率平均值法?任选一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数 f(x), 是其满足下列条件: ?(1) f(x) ?0, 当g(x) ?0时(a ?x ?b) ?(2) ?? ba dxxgI)(1)(????? dxxf如果记????????0)(,0 ,0)(,)( )()(*xf xfxf xgxg?? ba dxxfxgI)()(*???? Ni ixgN II 1)(* 1 如果 a、b为有限值, f(x) 可取作为均匀分布?????????其他,0 , 1)( bxaab xfdxab xgabI ba???? 1)()(具体试验步骤产生[a, b] 上的均匀分布随机变量 xi(I=1,2, …,N); 计算均值 IxgN abI Ni i?????1)( 1d bxa I e x ??? 1)( ?? xexg??????????其他, 当 0 - 1 sbxaab Xf???? 1 *e ??? xabxg???????? Ni x ieabN II 1 11 例1 求积分值积分函数如果取一维平均分布如果,在区域[a, b] 上进行 N次均匀抽样 xi,则积分值近似为则采用均匀分布抽样的方法叫做简单抽样(Simple sampling) 简单抽样重要抽样 x x g(x) g(x) 图. 简单抽样和重要抽样重要抽样方法就是,以一个权重函数 w(x) 为分布密度函数,抽取符合该分布的随机变量 Xi, 适当地选取权重函数 w(X) ,使之与原积分函数变化形势相近,则)( )( i iXw Xg近似为一常量,则该计算具有很高的精度。 2 xe g(x) ???? 2 x1 exg 2 x*??????? N1i i 2 x-2 x 1- eN 1II i 例2 求积分值积分函数选用该函数的级数展开式 1-x/2+x2/2-x3/6+ ???的一级近似 1- x/2 作为权重函数 w(x) 。如果,在区域[a, b] 上进行 N次以一个权重函数 w(x) 为分布密度函数抽样 xi,则积分值近似为 dx eI ba 2 x???椭圆微分方程第一边界值微分方程及其边界条件 0),,( 32123 222 221 2??????????xxxfx ux ux u差分方程及其边界条件迭代法: 所有网格的解计算机存储单元效率低 MC 方法叶片 Qp DPPqPu???),()( Poisson 方程: ???QQfu ),()Q(边界条件: D? DPPq hPuPu iij ij i??????),(4 )(4 1)( 41 2差分方程: ????QQfu ),()Q(边界条件: P iP i1P i2P i4P i3 MC 方法:随机游动设经过 ni个内节点 P到达边界 Q,则该次游动的随机变量?取为: )()(4 0 2QfPq h ini i????= ?)( 1 1PuN Nj?????=