浅谈不等式的证明方法.docx

文档介绍：浅谈不等式的证明方法
 
 
申月
摘 要： 不等式是数学中广泛应用的技巧性工具，，常见证明方法有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等等
.此外，还可利用函数的极值、，在高等数学中，证明不等式常用到泰勒公式、中值定理、拉格朗日函数以及一些重要不等式来证明.
关键词：不等式;综合法;函数;中值定理
不等式是数学领域的重要课题，，此类题的题型比较多，证明方法也比较灵活，，，通过这些方法的学****我们可以很好的接触一些常见的数学思想方法，开拓我们的数学思维，使我们对不等式的证明有更深入的了解，有利于我们站在更高的角度研究数学不等式.
一 常见方法
（一）比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，常见有作差比较法和作商比较法两种.
1、 作差比较：
比较两个实数 与 的大小时，可通过判断 ：作差——变形（因式分解、配方、通分、应用已知定理、公式及题设条件等）——判断符号（将结果与零作比较）.
2、作商比较：
一般在 与 均是正数时，可通过 或 来判断大小，步骤基本为：作商——变形（积幂运算等）——判断（将结果与1比较）.
注意：在作差过程中，若将两个正数作差比较有困难，，可根据具体题目做分析.
（二）分析法
分析法由结果出发，逐步推导使得上一步成立的充分条件，最后与已知、定理、恒成立的结果统一，但要使得每一步的推导过程都必须可逆.
例3 求证： .
证明：要证 ，即证 ，即 ， ，由此逆
推即得 .
注意：分析法是数学中基本的方法，基本思想是“由果索因”，要保证“后一步”是“前一步”，特别是某些含有根式的不等式时往往更是行之有效的，，、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.
（三）综合法
从已知条件、定理、定义和已将证明的重要不等式出发，利用不等式的性質，逐步推导，最终推出要证的不等式，“由因导果”，由已知出发，推得要证不等式.
例4已知： ，求证： .
证明：由 ，知 ，即 ，则 .
在用综合法证明不等式时，：
⑴ .⑵ 当且仅当 时取等号）.⑶ （ ，当且仅当 时取等号）.
（四）反证法
：先否定结论，再进行合理的逻辑推理演算，而引出矛盾，进而得证.
假设 ，则 ， ， ，因为 ， 都是正数，所以 ，与 矛盾.
所以有
（五） 放缩法
通过观察不等式的结构形式，相应的把不等式一边扩大或缩小，再利用不等式的性质证明不等式，使得证明过程清晰自然.
在证明过程中，常采用的放缩方法有：⑴添加或舍弃一些正项或负项.⑵先放缩在求和.（先求和在放缩）.⑶先裂项，后放缩.（先放