文档介绍:浅谈不等式的证明方法
 
 
申月
摘 要: 不等式是数学中广泛应用的技巧性工具,,常见证明方法有比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等等
.此外,还可利用函数的极值、,在高等数学中,证明不等式常用到泰勒公式、中值定理、拉格朗日函数以及一些重要不等式来证明.
关键词:不等式;综合法;函数;中值定理
不等式是数学领域的重要课题,,此类题的题型比较多,证明方法也比较灵活,,,通过这些方法的学习,我们可以很好的接触一些常见的数学思想方法,开拓我们的数学思维,使我们对不等式的证明有更深入的了解,有利于我们站在更高的角度研究数学不等式.
一 常见方法
(一)比较法
比较法是证明不等式最基本的方法,常见有作差比较法和作商比较法两种.
1、 作差比较:
比较两个实数 与 的大小时,可通过判断 :作差——变形(因式分解、配方、通分、应用已知定理、公式及题设条件等)——判断符号(将结果与零作比较).
2、作商比较:
一般在 与 均是正数时,可通过 或 来判断大小,步骤基本为:作商——变形(积幂运算等)——判断(将结果与1比较).
注意:在作差过程中,若将两个正数作差比较有困难,,可根据具体题目做分析.
(二)分析法
分析法由结果出发,逐步推导使得上一步成立的充分条件,最后与已知、定理、恒成立的结果统一,但要使得每一步的推导过程都必须可逆.
例3 求证: .
证明:要证 ,即证 ,即 , ,由此逆
推即得 .
注意:分析法是数学中基本的方法,基本思想是“由果索因”,要保证“后一步”是“前一步”,特别是某些含有根式的不等式时往往更是行之有效的,,、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.
(三)综合法
从已知条件、定理、定义和已将证明的重要不等式出发,利用不等式的性質,逐步推导,最终推出要证的不等式,“由因导果”,由已知出发,推得要证不等式.
例4已知: ,求证: .
证明:由 ,知 ,即 ,则 .
在用综合法证明不等式时,:
⑴ .⑵ 当且仅当 时取等号).⑶ ( ,当且仅当 时取等号).
(四)反证法
:先否定结论,再进行合理的逻辑推理演算,而引出矛盾,进而得证.
假设 ,则 , , ,因为 , 都是正数,所以 ,与 矛盾.
所以有
(五) 放缩法
通过观察不等式的结构形式,相应的把不等式一边扩大或缩小,再利用不等式的性质证明不等式,使得证明过程清晰自然.
在证明过程中,常采用的放缩方法有:⑴添加或舍弃一些正项或负项.⑵先放缩在求和.(先求和在放缩).⑶先裂项,后放缩.(先放