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例题讲解
【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点〔不与B、C重合〕．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。
〔1〕 求证：ΔBEF∽ΔCEG．
〔2〕 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
〔3〕设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
图10
【例２】如图 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A B C且OA＝1 OB＝OC＝3 ．〔1〕求此二次函数的解析式．〔2〕写出顶点坐标和对称轴方程．
〔3〕点M N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边) 且MN∥x轴 求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．
【例3】两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．
〔1〕求的值；
〔2〕求函数的表达式；
〔3〕在同一直角坐标系，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．
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【例4】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
〔1〕求点A的坐标;
〔2〕以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
〔3〕设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值围.
【例4】随着绿城近几年城市建设的快速开展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示〔注：利润与投资量的单位：万元〕
〔1〕分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
〔2〕如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
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【例5】如图，，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
〔1〕求C点坐标与直线BC的解析式;
〔2〕一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
〔3〕现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
【例6】如图，抛物线交轴于A、B两点，交向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
〔1〕求抛物线对应的函数表达式；
〔2〕抛物线或在轴上方的局部是否存在点N，使以A，C，M，，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P是抛物线上的一个动点〔P不与点A、B重合〕，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
解析过程与每步分值
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【例7】如图，在矩形中，，，点是边上的动点〔点不与点，点重合〕，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠局部的面积为．
〔1〕求的度数；
〔2〕当取何值时，点落在矩形的边上？
〔3〕①求与之间的函数关系式；
②当取何值时，重叠局部的面积等于矩形面积的？
D
Q
C
B
P
R
A
B
A
D
C
〔备用图1〕
B
A
D
C
〔备用图2〕
解析过程与每步分值
解：〔1〕如图，四边形是矩形，．
又，，，
D
Q
C
B
P
R
A
〔图1〕
，．
，．
，．
〔2〕如图1，由轴对称的性质可知，，
，．
由〔1〕知，，
，．
，，．
在中，根据题意得：，
D
Q
C
B
P
R
A
〔图2〕
F
E
解这个方程得：．
〔3〕①当点在矩形的部或边上时，
，，
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，当时，
当在矩形的外部时〔如图2〕，，
在中，，
，
又，，
在中，
，．
，
，
当时，．
综上所述，与之间的函数解析式是：．
②矩形面积，当时，函数随自变量的增