文档介绍：. .
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抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比拟困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于定义域的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，那么称函数具有周期性，叫做的一个周期，那么〔〕也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期的图像为C:
。把个单位即按向量在其他周期的图像：。
2、奇偶函数：
设
①假设
②假设。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
〔1〕中心对称即点对称：
①点
②
③
④
⑤
〔2〕轴对称：对称轴方程为：。
①关于直线
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②函数关于直线
成轴对称。
③关于直线
成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
〔一〕函数图象本身的对称性〔自身对称〕
假设，那么具有周期性；假设，那么具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性〞。
1、图象关于直线对称
推论1：的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
〔二〕两个函数的图象对称性〔相互对称〕〔利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解〕
1、偶函数与图象关于Y轴对称
2、奇函数与图象关于原点对称函数
3、函数与图象关于*轴对称
4、互为反函数与函数图象关于直线对称
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推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
〔三〕抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 假设函数y＝f(*)关于直线*＝a轴对称，那么以下三个式子成立且等价：
〔1〕f(a＋*)＝f(a－*) 〔2〕f(2a－*)＝f(*) 〔3〕f(2a＋*)＝f(－*)
性质2 假设函数y＝f(*)关于点〔a，0〕中心对称，那么以下三个式子成立且等价：
〔1〕f(a＋*)＝－f(a－*)〔2〕f(2a－*)＝－f(*)〔3〕f(2a＋*)＝－f(－*)
易知，y＝f(*)为偶〔或奇〕函数分别为性质1〔或2〕当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、 假设对于定义域的任一变量*，均有f[g(－*)]＝f[g(*)]，那么复数函数y＝f[g(*)]为偶函数。
定义2、 假设对于定义域的任一变量*，均有f[g(－*)]＝－f[g(*)]，那么复合函数y＝f[g(*)]为奇函数。
说明：
〔1〕复数函数f[g(*)]为偶函数，那么f[g(－*)]＝f[g(*)]而不是f[－g(*)]＝f[g(*)]，复合函数y＝f[g(*)]为奇函数，那么f[g(－*)]＝－f[g(*)]而不是f[－g(*)]＝－f[g(*)]。
〔2〕两个特例：y＝f(*＋a)为偶函数，那么f(*＋a)＝f(－*＋a)；y＝f(*＋a)为奇