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授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第六章 线性空间 第一讲 集合映射
2 授课类型 讲授
通过本节的学****掌握集合映射的有关定义、运算 ,求和号与乘积号的定义
集合映射的有关定义
集合映射的有关定义
讲授法 启发式
集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念
定义:(集合的交、并、差)设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合
成为A与B的交集,记作
A
B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成
为A与B的并集,记做A
B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的
元素组成的集合成为
A与B的差集,记做A
B.
定义:(集合的映射)
设
A
B
f
,使得
A
中任意元素
、
a在法则f下对应B中唯一确定的元素
(记做f(a)),则称f是A到B的一个
映射,记为
f:A
B,
a
f(a).
如果f(a)
b
B,
则b称为a在f下的像,
所有元素在
f
下的像构成的
B的子集称为
A在f下的像,记做f(A),即
f(A)
f(a)|a
A.
若
a
a'
A,都有f(a)
f(a'),
bB,都存在
aA
,使得f(a)
b,则称f
,则称f为双
射,或称一一对应.
求和号与求积号
求和号与乘积号的定义
为了把加法和乘法表达得更简练 ,我们引进求和号和乘积号 .
设给定某个数域
K上n个数a1,a2,
,an,我们使用如下记号:
n
n
a1
a2
an
ai,
a1a2an
ai.
i
1
i1
当然也可以写成
a1 a2 an ai, a1a2 an ai.
1i n 1i n
(2)求和号的性质
容易证明,
n n n n n n m m n
ai
ai,
(aibi)
ai
bi,
aij
aij.
i1
i1
i1
i1
i1
i1j1
j1i1
事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状 :
a11
a12
a1m
a21
a22
a2m
an1 an2 anm
分别先按行和列求和 ,再求总和即可 .
讨论、练****与
作业
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课后反思
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授课内容
教学时数
教学目标
教学重点
教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第二讲 线性空间的定义与简单性质
2 授课类型 讲授
通过本节的学****掌握线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义与简单性质
线性空间的定义与简单性质
讲授法 启发式
(1)定义1(线性空间) 设V是一个非空集合 ,且V上有一个二元运算“ +”
(V V V),又设K为数域,V中的元素与 K中的元素有运算数量乘法“ ?”
(K V V),且“+”与“?”满足如下性质 :
1、加法交换律 , V,有 ；
2、加法结合律 , , V,有( ) ( )；
3、存在“零元”,即存在0 V,使得 V,0 ；
4、存在负元,即 V,存在 V,使得 0；
5、“1律” 1? ；
6、数乘结合律 k,l K, V,都有(kl) k(l ) l(k )；
7、分配律 k,l K, V,都有(k l) k l ；
8、分配律 k K, , V,都有k( ) k k ,
则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为 :线性空
间依赖于“+”和“?”的定义,不光与集合 V有关.
零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质
命题1零元素唯一,任意元素的负元素唯一.
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证明:设0与
0'均是零元素,则由零元素的性质
,有0
0'
0