文档介绍：近世代数基础补考复****练****王尚文近世代数基础基本概念群论环和域第一章基本概念?集合?映射?代数运算?结合律?交换律?分配律?一一映射?同态?同构、自同构?等价关系与集合分类第二章群论?群的定义?单位元、逆元、消去律?有限群的另一定义?群的同态?变换群?置换群?循环群?子群?子群的陪集?不变子群、商群?同态与不变子群第三章环和域?加群、环的定义?交换律、单位元、零因子、整环?除环、域?无零因子环的特征?子环、环的同态?多项式环?理想?剩余类环、同态与理想?最大理想集合的定义?若干个固定事物的全体叫做一个集合简称集?元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素有时简称元?一个没有元素的集合叫做空集合?集合的积令 A1 A2 A1 A2 ········· ········· , , An An 是是n n个集合,有一切从个集合,有一切从 A1 A1 A2 A2 ········· ········· , , An An 里顺序取出的元里顺序取出的元素组( 素组( a1 a1 , ,a2 a2 , , a3 a3 ············ ············ , , an an )( )( ai ai∈∈ Ai Ai )所做成的集)所做成的集合叫做集合合叫做集合的积的积?子集若集合 b的每一个元素都属于集合 a,我们说, b是a 的子集?交集集合 a和集合 b的所有共同元所组成的集合就叫做 a和b 的交集?并集由至少属于集合 a和b之一的一切元素组成的集合就叫做 a 和b的并集映射?映射的定义假如通过一个法则Ф,对于任何一个 A1× × A2 A2× × ······ ······ × × An An 的元都能得到一个唯一的的元都能得到一个唯一的 D D的元的元 d d, , 那么这个法则叫做集合那么这个法则叫做集合 A1 A1× × A2 A2× × ······ ······ × × An An 到集合到集合 D D的的一个映射一个映射像像逆象, 逆象, ??映射的相同映射的相同效果相同就行效果相同就行代数运算?定义一个 A×B到D的映射叫做一个 A×B到D的代数运算?代数运算是一种特殊的映射描写它的符号,也可以特殊一点,一个代数运算我们用。来表示?二元运算假如。是一个 A×A到A的代数运算,我们说集合 A是闭的二元运算分配律?第一分配律 b ⊙( a+b )=(b⊙ a)+ (b ?⊙a) ?第二分配律( a1+a2 ) b= (a1 ⊙b)+(a2 ⊙b) 同态?同态映射一个 A到ǎ ǎ的映射的映射 l l,叫做一个代数运算,叫做一个代数运算∮∮和和∮∮‘‘来说, 来说, A A到到ǎ ǎ的同态映射,假如,在的同态映射,假如,在∮∮之下不管之下不管 a a和和b b是是 A A的哪两个元,只要的哪两个元,只要 a a→→a a′ ′, ,b b→→b b ` ` 就有就有 a a ∮∮b b→→ a a′ ′∮∮‘‘b b` ` ??假如运算假如运算 1 1和和1 1‘‘来说,有一个来说,有一个 A A到到A A’’的满射的同态映射存在, 的满射的同态映射存在, 同态满射同态满射??同构映射同构映射一一映射的同态映射就是一个同构映射一一映射的同态映射就是一个同构映射??自同构自同构等价关系与等价类?集合的等价关系假如~满足以下规律Ⅰ反射律; a~a, 不管 a是A的哪个元。Ⅱ, 对称律:a~b= >b ~ a Ⅲ,推移律: a~b,b~ c=>a ~ c同余关系