文档介绍：数学建模之雨中行走
摘要: 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力地快跑是不是最好的策略?试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
关键词: 淋雨量,降雨的大小,降雨的方向(风),路程的远近,行走的速度。
问题重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型是否跑的越快,淋雨量越少。
模型假设及符号说明
(一)模型假设:
1风速始终保持不变
2降雨速度和强度保持不变
3跑步的全程速度保持不变
(二)符号说明
(1)将人体转化成一个长方体,高a=(颈部以下),宽b=,厚c=。
(2)跑步距离d=1000m,跑步最大速度Vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h
(3)雨速为常数且方向不变
(4)记跑步速度为v。
模型建立与求解
(1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。
解:全身面积s=2ab+2ac+bc=²,
淋雨时间t=d/Vm=200s
降雨量w=2cm/n=10-4/18m/s
∴总淋雨量Q=stw︽
(2)假设雨从迎面吹来,雨线雨跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,,b,c,d,u,w,a,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少。计算θ=0, θ=30°的总淋雨量。
解:顶部淋雨量Q1=bcdw cosθ/v
雨速水平分量usinθ。方向与v相反
和速度为u sinθ+v
迎面单位时间、单位面积的淋雨量w(u sinθ+v)
淋雨量Q2=abdw(u sinθ+v)/uv
所求总淋雨量Q=Q1+Q2=
当v=vm时Q最小。=
=30 °
(3)雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,期望与人体的夹角为a,,b,c,d,u,w, 之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少。计算=30°是的总淋雨量。

解:(3)与(2)不同的是,和速度为|usin-v|,于是总淋雨量

若c cos-asin<0,即tan>c/a,则v=usin时Q最小,否则v=vm时Q最小
当=30。时,tan> v=2m/s Q≈,可与v=vm,Q≈

(4)以总淋