微积分课件：第三章 微分中值定理与导数的应用习题课.ppt

文档介绍：*
微分中值定理与
导数的应用<br****题课
内容提要
典型例题
*
一、内容提要
1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange)
2. 泰勒(Tayloy)定理.
定理以及柯西(Cauchy)定理.
3. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.
*
洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
常用的
泰勒公式
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数
图形的描绘;
曲率;求根方法.
导数的应用
一、内容提要
*

罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒中值定理
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
-
&#162;
+
=
a
b
a
f
b
f
f
-
-
=
&#162;
)
(
)
(
)
(
x
0
=
n
*
2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态
(3) 证明恒等式或不等式
(4) 证明有关中值问题的结论
(2) 证明方程根的存在性
*
利用
一般解题方法:
证明含一个中值的等式或根的存在,
若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用
若已知条件中含高阶导数,
若结论中含两个或两个以上的中值,

(1)
可用原函数法找辅助函数.
(2)
柯西中值定理.
中值定理.
(3)
(4)
有时也可考虑
多考虑用泰勒公式,
逆向思维,
设辅助函数.
多用罗尔定理,
必须多次应用
对导数用中值定理.
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
*
二、典型例题
例 证明方程
在(0,1)内至少有一实根
[分析]
如令
则
的符号不易判别
不便使用介值定理
用 Rolle 定理来证
证
令
则
且
故由Rolle 定理知
即
在(0,1)内有一实根
*
且满足罗尔定理其它条件,
练****br/>证：
*
例
提示：
满足Rolle 定理的条件
*
在
内可导,且
证明至少存在一点
使
上连续,在
问题转化为证
设辅助函数
用Rolle定理,
使
即有
例
证
分析
?
0
)
(
2
)
(
=
+
&#162;
x
x
x
f
f
0
)
(
)
(
2
)
(
2
=
&#162;
+
=
&#162;
x
x
x
x
x
f
f
F