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数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.
定理 1 对于数域上的任意两个多项式，其中的充分必要条件是除的余式为零.
定理 2 对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式使.
定理 3 中两个多项式，互素的充分必要条件是有中的多项式使.
定理 4 如果，且，那么.
定理 5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.
因式分解及唯一性定理，如果有两个分解式那么必有，并且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数.
定理 6 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式.
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定理 7（余数定理）用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.
定理 8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.
定理 9 如果多项式，的次数都不超过，而它们对个不同的数有相同的值，即那么.
代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.
复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
定理 10（高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
定理 12 设是一个整系数多项式，而是它的有理根，其中互素，，如果的首项系数，那么的有理根是整根，而且是的因子.
定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得
1.；
2.；
3.
那么在有理数域上是不可约的.
第二章
定理 1 对换改变排列的奇偶性.
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定理 2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
定理 3 设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立：
定理 4 （克拉默法则）如果线性方程组
的系数矩阵
的行列式，
那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的行列式，即
定理 5 如果齐次线性方程组
的系数矩阵的行列式，，如果该方程组有非零解，那么必有.
定理 6 （拉普拉斯定理） .
定理 7 两个级行列式和的乘积等于一个级行列式，其中是的第行元素分别与
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的第列的对应元素乘积之和：.
第三章
定理 1 在齐次线性方程组
中，如果，那么它必有非零解.
定理 2 设与是两个向量组，如果
1）向量组可以经线性表出，
2），
那么向量组必线性相关.
定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.
定理 5 矩阵
的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.
定理 6 一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.
定理 7 （线性方程组有解判别定理）线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。
定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩.
定理 9 如果是方程组的一个特解，那么该方程组的任一
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个解都可以表成，，对于方程组的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，就给出本方程组的全部解.
第四章
定理 1 设是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
定理 2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是，即乘积的秩不