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§2 方差、协方差与相关系数
比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为：
问哪一个技术较好？
首先看两人平均击中环数，此时，从均值来看无法分辩孰优孰劣. 但从直观上看，***本上稳定在8环左右，而乙却一会儿击中10环，一会儿击中6环，.
上例说明：对一随机变量，除考虑它的平均取值外，还要考虑它取值的离散程度.
称-为随机变量对于均值的离差(deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述离散程度的数值，考虑用，但由于==0对一切随机变量均成立，即的离差正负相消，因此用是不恰当的. 我们改用描述取值的离散程度，这就是方差.
定义1 若存在，为有限值，就称它是随机变量的方差(variance)，记作Var,
Var= (1)
但Var的量纲与不同，为了统一量纲，有时用，称为的标准差(standard deviation).
方差是随机变量函数的数学期望，由§1的(5)式，即可写出方差的计算公式
Var== (2)
进一步，注意到
即有
Var=. (3)
许多情况，用(3)式计算方差较方便些.
例1(续) 计算例1中的方差Var与Var.
解 利用(3)式
==×+×+×=,
Var==--=.
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同理, Var== -64 = > Var, 所以取值较分散. 这说明甲的射击技术较好.
例2 试计算泊松分布P(λ)的方差.
解
所以Var.
例3 设服从[ a, b ]上的均匀分布U [a, b]，求Var.
解 ,
Var.
例4 设服从正态分布，求Var.
解 此时用公式(2)，由于,
Var
可见正态分布中参数就是它的方差, 就是标准差.
方差也有若干简单而重要的性质. 先介绍一个不等式.
切贝雪夫(Chebyshev)不等式 若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数ε，恒有
. (4)
证 设的分布函数为，则
这就得(4)式.
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义. 事实上，该式断言落在与内的概率小于等于/，或者说，落在区间内的概率大于1-/，从而只用数学期望和方差就可对上述概率进行估计. 例如，取
ε=3，则
≈.
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当然这个估计还是比较粗糙的（当～时，在第二章曾经指出, P(|ξ-|3)=P(|ξ-|3σ)≈ ）.
性质1 =0的充要条件是P(ξ=c) =1，其中c是常数.
证 显然条件充分. 反之，如果= 0，记= c, 由切贝雪夫不等式,
P(|ξ- |ε)=0
对一切正数ε成立. 从而
性质2 设c,b都是常数，则
Var(+b)=.