对面积的曲面积分.doc

文档介绍：第
四
节
对
面
积
的
曲
面
积
分
学****目标
了解对面积的曲面积分的概念、
性质， 掌握对面积的曲面积分的计算方法，
会用曲面积
分求一些几何量与物理量 .
内容提要
1. 定义设函数 f
x, y, z
在光滑曲面
上有界，将曲面
任意分成 n 小块
Si（
Si 也
表示第 i 小块曲面的面积） ，在
Si 上任取一点 M i (
i , i , i
) ，作乘积 f ( i , i
, i ) Si
n
（ i
1,2,L , n ），并作和
f
i ,
i , i
si ，记各小曲面直径的最大值为
，如果对曲
i
1
面的任一分法和点
(
i , i , i
)
的任意取法，当
0
时，上述和式的极限都存在且相等，则
称此极限值为函数 f x, y, z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
n
f ( x, y, z)dS

lim
0 i 1

f (

i ,

i ,

i ) Si ．
【注】 定义中的“ Si ”是面积元素，因此， Si 0 ．
性质
①关于曲面具有可加性，若 1 2 ，且 1 与 2 没有公共的内点，则
f ( x, y, z)dS
f ( x, y, z)dS
f ( x, y, z)dS ；
1
2
②当被积函数为 1 时，积分结果在数值上等于曲面
的面积 S ，即
f (x, y, z)dS
S ．
3. 对面积的曲面积分的计算
设曲面
由 z z x, y 给出，
在 xoy 面上的投影区域为
D xy ，函数 z
z x, y 在 Dxy
上具有连续偏导数，被积函数
f ( x, y, z) 在
上连续，则
2
2
f (x, y,z)dS
f ( x, y, z(x, y)) 1
z
z
x
dxdy
．
Dxy
y
同样地
:x
x y, z
2
2
x
x
f ( x, y, z)dS
f
x y, z
, y, z
1
dydz ，
Dyz
y
z
: y y
z,x
2
2
f ( x, y, z)dS
f x, y z, x , z
y
y
1
dzdx ．
Dxz
x
z

设曲面
上任意一点
x