文档介绍：议“柯克曼女生问题”【摘要】“柯克曼女生问题”实质就是解决 STS (v)、 KTS (v), LSTS (v)、 LKTS (v )等组合设计的存在性、构造及其可解数. 文章在“K题”、“J题”可解性的基础上, 列举了六种类型“K题”和一种“J题”的人工构造方法,并从不同角度探讨了可解总数的 7 种推算结果. 【关键词】柯克曼女生问题; K题J 题;充要条件;解法;解数【中图分类号】【文献标识码】 A “柯克曼女生问题”, 是因英国数学家柯克曼( ) 1847 年在《女士与先生之日记》杂志上, 发表了一篇题为“疑问六”的女生散步命题而引出的. 其意是: 一位女教师带领 15 名女学生散步,每3 人一组共 5 组结伴而行. 问能否安排一周 7 天的散步计划, 使其中任意 2 名女生曾被分到一组, 且仅被分到一组?笔者将此命题简称为“K题”. 之后英国数学家西尔菲斯特( )和凯莱( ) ,又于 1850 年将此题扩展为:能否安排 13 周的散步计划,不但使每周都符合“K题”要求, 而且使其中任意 3 名女生曾被分到一组, 且仅被分到一组?笔者将此扩展题简称为“J题”.“K题”“J题”先后提出后,从 19 世纪中叶开始,到 20 世纪, 直至当今,从英国、德国、法国到美国,苏联(俄罗斯) ,到中国,无数学者和爱好者从组合数学理论对“K题”“J题”进行了百多年的研究、探讨. 他们绞尽脑汁、呕心沥血, 前赴后继地攻下了一道道难关, 攀登了一个个险峰, 创立出“组合设计”这一新理论, 为组合数学增添了一个重要分支, 推动着现代应用数学的发展! 把v 元集 X(v) 中的元,按k 个元一组的子集( 称作区组)共b 个进行配置,这种组合设计的类型称作区组设计. 若使每个元在 b 个区组中出现γ次,每对元在 b 个区组中出现λ次,则此区组设计叫平衡区组设计. 由于涉及 v、b、γ、k、λ5 个参数, 平衡区组设计又可用{v、b、γ、k、λ} 设计表示. 若一个区组集 B( Bi), 可分拆为若干平行类, 使得每个元素恰好出现在每个平行类的一个区组中,则称其为可分解的,记为 RB(k,λ,v), 可分解的 STS (v)即 RB(3,1,v) 被称为 Kirkman 三元系, 记作 KTS (v). 将v集X(v) 上总计 v3个 3- 子集分拆为彼此没有公共 3- 子集的( v-2 ) 个 STS (v), 记作 DS(v), 这种配置就称 v阶 Steiner 三元系大集,记为 LSTS (v).将v集X(v) 上总计 v3个 3- 子集分拆为彼此没有公共 3- 子集的( v-2 ) 个 KTS (v), 记作 DK(v), 这种配置就称 v阶 Kirkman 三元系大集,记为 LKTS (v). 显然,“K题”就是一个 KTS ( 15) ,即 RB(3,1, 15 )设计,“J题”就是一个 LKTS ( 15),即 DK( 15) =13 设计. 因此笔者认为“柯克曼女生问题”, 实质就是解决 STS (v)、 KTS (v), LSTS (v)、 LKTS (v) 的存在条件, 构造方法和可构总数. 一、关于“K题”“J题”可解的充要条件关于“K题”“J题”引发的 STS (v)、 KTS (v), LSTS (v)、 LKTS (v) 设计的存在性, 即设计的充要条件, 经学者百年的艰苦努力, 已从理论上基本破题, 特别是我国组合数学家陆家羲贡献突出, 他不但攻下 LSTS (v) 设计存在性的难题外, 还对 RB(k,λ,v) 设计作出了存在性的一般性结论. 关于陆家羲的研究成果,康庆德教授,罗见今教授都有专著[1] ,笔者就有关存在性结论摘录如下: 1. 存在 STS (v) ,当且仅当 v≡1,3( mod6 ) ,且 v≥3; 2. 存在 KTS (v) ,当且仅当 v≡3( mod6 ) ,且 v≥3; ≡1,3( mod6 ) ,且 v>7 则D(v) =v-2 , LSTS (v )存在; ≡3( mod6 ) ,且 v>7 则D(v) =v-2 , LKTS (v )存在; 对照以上充要条件,“K题”为{35 , 15,7,3, 1} 设计,其中 v=15 , v-3=12 ,可被 6 整除, KTS ( 15 )可解;“J题”为 LKTS ( 15) =13 设计, 其 v=15 , v-3=12 可被 6 整除,存在 v-2=13 ,可解. 二、关于“K题”“J题”的题解. “K题”“J题”题解就是进行排列配置的具体操作,即对 15 名女生一周 7 天和 13周 91 天的 3 人行按要求进行编排. 对此编排,从